حدود پایین و بالای دنباله

تعریف ۱: فرض کنید $a_n$ یک دنباله‌ای از اعداد حقیقی و از بالا کراندار باشد. دنبالۀ $M_n$ را چنین تعریف می کنیم \begin{align*} M_n=\sup\set{a_n,a_{n+1},\cdots} \end{align*} به آسانی دیده می شود که دنبالۀ $M_n$ نزولی است و بنابراین $\lim_{n\to\infty}M_n$ موجود است. $\lim_{n\to\infty}M_n$ را حد بالای $a_n$ می نامیم و با $\varlimsup_{n\to\infty}a_n$ یا $\lim_{k\to\infty}\sup_{n\ge k}a_n$ نمایش می دهیم. مثلاً، اگر $a_n=(-1)^n$ آنگاه $\varlimsup_{n\to\infty}a_n=1$ و اگر $a_n=-n$ آنگاه $\varlimsup_{n\to\infty}a_n=-\infty$.

  تعریف۲: اگر $a_n$ یک دنباله‌ای از اعداد حقیقی و از بالا کراندار نباشد، تعریف می کنیم : \begin{align*} \varlimsup_{n\to\infty}a_n=\infty. \end{align*} قضیه۱: اگر $a_n$ یک دنباله‌ای از بالا کراندار و $\lim_{n\to\infty}a_n$ موجود باشد، آنگاه: \begin{align*} \varlimsup_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}a_n. \end{align*}  

تعریف۳: فرض کنید $a_n$ یک دنباله‌ای از اعداد حقیقی که از پایین کراندار است و \begin{align*} m_n=\inf\set{a_n,a_{n+1},\cdots} \end{align*} دنبالۀ $m_n$ صعودی است و لهذا، $\lim_{n\to\infty}m_n$ موجود است. $\lim_{n\to\infty}m_n$ را حد پایین $a_n$ می نامیم و با $\varliminf_{n\to\infty}a_n$ یا $\lim_{k\to\infty}\inf_{n\ge k}a_n$ نمایش می دهیم.

  تعریف۴: اگر $a_n$ یک دنباله‌ای از اعداد حقیقی باشد که از پایین کراندار نباشد، تعریف می کنیم : \begin{align*} \varliminf_{n\to\infty}a_n=-\infty. \end{align*}   احکام زیر نتایج مستقیم تعاریف حدود بالا و پایین هستند.

  نتیجۀ۱: اگر $a_n$ از پایین کراندار و $\lim_{n\to\infty}a_n$ موجود باشد آنگاه، $\varliminf_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}a_n$.

  نتیجۀ۲: اگر $a_n$ یک دنباله‌ای از اعداد حقیقی باشد آنگاه \begin{align*} \varliminf_{n\to\infty}a_n\le \varlimsup_{n\to\infty}a_n. \end{align*}  

قضیه۲: اگر $a_n$ یک دنباله‌ای از اعداد حقیقی باشد بطوریکه \begin{align*} \varliminf_{n\to\infty}a_n= \varlimsup_{n\to\infty}a_n=a. \end{align*} آنگاه $\lim_{n\to\infty}a_n=a$

  قضیه۳: فرض کنید $a_n$ و $b_n$ دنباله‌های کراندار از اعداد حقیقی باشند. در اینصورت

  1. اگر همواره $a_n\le b_n$، آنگاه
    \begin{align*}
    \varlimsup_{n\to\infty}a_n\le \varlimsup_{n\to\infty}b_n\qquad,\qquad \varliminf_{n\to\infty}a_n\le \varliminf_{n\to\infty}b_n
    \end{align*}
  2. \begin{align*}
    \varlimsup_{n\to\infty}(a_n+b_n)\le \varlimsup_{n\to\infty}a_n+\varlimsup_{n\to\infty}b_n
    \end{align*}
  3. \begin{align*}
    \varliminf_{n\to\infty}(a_n+b_n)\ge \varliminf_{n\to\infty}a_n+\varliminf_{n\to\infty}b_n
    \end{align*}

قضیه۴: فرض کنید $a\in\mathbb R$. شرط لازم و کافی برای آنکه $\varlimsup_{n\to\infty}a_n=a$ باشد آن است که:

  1. به ازای هر $\varepsilon>0$، عدد طبیعی مانند $N$ موجود باشد بطوریکه به ازای هر عدد طبیعی $n$ اگر $n\ge N$ آنگاه $a_n<a+\varepsilon$.
  2. به ازای هر $\varepsilon>0$ و هر عدد طبیعی $N$ عدد طبیعی مانند$n$ موجود باشد بطوریکه $n\ge N$ و $a_n>a-\varepsilon$.

قضیه۵: شرط لازم و کافی برای آنکه $\varliminf_{n\to\infty}a_n=a$ ($a\in\mathbb R$) آن است که:

  1. به ازای هر $\varepsilon>0$، عدد طبیعی مانند $N$ موجود باشد بطوریکه به ازای هر عدد طبیعی $n$ اگر $n\ge N$ آنگاه $a-\varepsilon<a_n$.
  2. به ازای هر $\varepsilon>0$ و هر عدد طبیعی $N$ عدد طبیعی مانند$n$ موجود باشد بطوریکه $n\ge N$ و $a_n<a+\varepsilon$.

قضیه۶: هر دنبالۀ کراندار از اعداد حقیقی دارای زیر دنباله‌ای همگراست.  

قضیه۷(شرط کوشی): شرط لازم و کافی برای آنکه دنبالۀ$a_n$ از اعداد حقیقی همگرا باشد آن است که: به ازای هر $\varepsilon>0$ عددی طبیعی مانند $N$ موجود باشد بطوریکه به ازای هر دو عدد طبیعی$m$ و $n$ اگر $m\ge N$ و $n\ge N$ آنگاه \begin{align*} \abs{a_m-a_n}<\varepsilon \end{align*}

برچسب‌ها:
مدیریت وب‌سایت

کسی که هندسه نمی‌داند ، از این در وارد نشود. " کتیبه‌ی سر در آکادمی افلاطون "

نوشته‌های مرتبط

قوانین ارسال دیدگاه

  • دیدگاه های فینگلیش تایید نخواهند شد.
  • دیدگاه های نامرتبط به مطلب تایید نخواهد شد.
  • از درج دیدگاه های تکراری پرهیز نمایید.
دیدگاه‌ها

*
*

    غفاری پاسخ

    سلام.
    اگر امکانش هست راحب لیمیت سوپریمم و لیمیت اینفیمم هم توضیحات بفرمایین. سپاس