حاصل ضرب تانسوری (۴- ضرب تانسوری فضاهای هیلبرت)

اگر $\cal H$ و $\cal K$ فضای هیلبرت باشند، می توان تئوری قبل را برای فضاهای باناخ به کار برد. بویژه می توان بزرگترین نرم $\gamma$ و کوچکترین نرم $\lambda$ را تعریف کرد و فضاهای باناخ ${\cal H}{\otimes}_{\gamma}{\cal K}$ و ${\cal H}{\otimes}_{\lambda}{\cal K}$ را بدست آورد. ما علاقه مندیم ضرب داخلی روی ${\cal H}\odot{\cal K}$ تعریف کنیم بطوریکه در شرط زیر صدق کند

\begin{align*}
(h_1\otimes k_1|h_2\otimes k_2)=(h_1|h_2)(k_1|k_2)
\end{align*}

برای تعریف چنین ضرب داخلی بصورت زیر عمل می کنیم:

ابتدا برای هر $h_2\in{\cal H}$ و $k_2\in {\cal K}$ دلخواه اما ثابت، نگاشت دوخطی $\psi_{(h_2,k_2)}:{\cal H}\times{\cal K}\To {\Bbb C}$ تعریف شده بصورت $\psi_{(h_2,k_2)}:(h_1,k_1)\mapsto (h_1|h_2)(k_1|k_2)$ را در نظر می گیریم با استفاده از گزاره ۲٫۱ نگاشت خطی $\varphi_{(h_2,k_2)}:{\cal H}\odot{\cal K}\To{\Bbb C}$ وجود دارد بطوریکه $\varphi_{(h_2,k_2)}\circ\pi=\psi_{(h_2,k_2)}$. حال اگر $G$ ، فضای برداری تمام فانکشنالهای مزدوج خطی روی $\cal H\odot K$ باشد. آنگاه فرض کنیم $\xi:{\cal H\odot K}\To G$ نگاشت خطی ایجاد شده توسط $\eta:{\cal H\times K}\To G$ تعریف شده بصورت $\eta:(h_2,k_2)\mapsto \overline{\varphi_{h_2,k_2}}$ باشد بطوریکه $\xi\circ\pi=\eta$. لذا

\begin{eqnarray*}
\xi(\sum_i e_i\otimes f_i)(\sum_j h_j\otimes k_j)&=&\sum_i\left[\overline{\varphi_{(e_i,f_i)}}\left(
\sum_j h_j\otimes k_j \right)\right]\\
&=&\sum_i\sum_j\overline{\varphi_{(e_i,f_i)}}(h_j\otimes k_j)\\
&=&\sum_i\sum_j\overline{(h_j|e_i)(k_j|f_i)}\\
&=&\sum_i\sum_j(e_i|h_j)(f_i|k_j)
\end{eqnarray*}

حال ضرب داخلی روی $\cal H\odot K$ \ را تعریف می کنیم $(u|v):=\overline{\xi(v)}(u)$ \ لذا داریم:

\begin{eqnarray*}
(\sum a_i\otimes b_i|\sum a_j^\prime\otimes b_j^\prime)&=&\overline{\xi(\sum a_j^\prime\otimes b_j^\prime)}
(\sum a_i\otimes b_i)\\
&=&\sum_j\left[\varphi_{(a_j^\prime,b_j^\prime)}\left(\sum_i a_i\otimes b_j\right)\right]\\
&=&\sum_j\sum_i\varphi_{(a_j^\prime,b_j^\prime)}(a_i\otimes b_i)\\
&=&\sum_j\sum_i(a_i|a_j^\prime)(b_i|b_j^\prime)
\end{eqnarray*}

خطی بودن نسبت به مولفه اول و مزدوج خطی بودن نسبت به مولفه دوم واضح است. فرض کنیم $(\sum a_i\otimes b_i=u)\in \cal H\odot K$ که $\{b_i\}$ مجوعه متعامد نرمال می باشد آنگاه داریم

\begin{align*}(u|u)=\sum_{i,j}(a_i\otimes b_i|a_j\otimes b_j)=\sum(a_i|a_j)(b_i|b_j)=\sum(a_i|a_i)\ge0
\end{align*}

و هنگاهی صفر است که $(a_i|a_i)=0$ . یعنی $u=0$ \ اگر و تنها اگر $(u|u)=0$

توجه داریم که $\|a\otimes b\|=\|a\|\,\|b\|$ برای هر $a\in \cal H$ و $b\in \cal K$. لذا نرم بدصت آمده از این ضرب تانسوری کراس می باشد. بردار $a\otimes b$ بر بردار $a^\prime\otimes b^\prime$ عمود است اگر و تنها اگر $a\perp a^\prime$ یا $b\perp b^\prime$.

تعریف ۵٫۱ :

فرض کنیم $\cal H,K$ فضاهای برداری باشد. آنگاه ضرب داخلی یکتایی روی $\cal H\odot K$ وجود دارد بطوریکه در شرط زیر صادق است

\begin{align*}
(a\otimes b|a^\prime\otimes b^\prime)=(a|a^\prime)(b|b^\prime)
\end{align*}

ما کامل شده $\cal H\odot K$ را نسبت به نرم بدست آمده از این ضرب داخلی، با ${\cal H}{\otimes}_{h}{\cal K}$ و یا ${\cal H}\otimes {\cal K}$ نمایش می دهیم.

گزاره ۱۱٫۱ :

فرض کنیم $\cal H,K$ فضاهای برداری باشد. آنگاه ${\Bbb B}({\cal H})\odot {\Bbb B}({\cal K)}$ در ${\Bbb B}(\cal H\odot K)$ بصورت طبیعی نشانده می شود.

اثبات :

فرض کنیم $T\in \Bbb B(\cal H)$ و $S\in \Bbb B(\cal K)$. نگاشت خطی $\iota_{T,S}:\cal H\odot K\To H\otimes K$ تعریف شده بصورت $\iota_{T,S}:\sum a_i\otimes b_i\mapsto \sum T(a_i)\otimes S(b_i)$ را در نظر می گیریم.

ادعا: این نگاشت کراندار می باشد. (در نتیجه می توان بصورت پیوسته بروی $\cal H\otimes K$ توسیع داد)

چون $\iota_{T,I}\circ\iota_{I,S}=\iota_{T,S}$، که $I$ نگاشت همانی در $\Bbb B(\cal H)$ و $\Bbb B(\cal K)$ می باشد. لذا کافی است کرانداری $\iota_{T,I}$ و $\iota_{I,S}$ راثابت کنیم. فرض کنیم $(t=\sum a_i\otimes b_i)\in \cal H\odot K$ که $\{b_i\}$ مجموعه متعامد یکه می باشد. لذا $\{a_i\otimes b_i\}$ و $\{Ta_i\otimes b_i\}$ مجموعه های متعامد می باشند و با استفاده از اتحاد فیثاغورث روی $\cal H\otimes K$ داریم

\begin{eqnarray*}
\|\iota_{T,I}(t)\|^2&=&\|\sum Ta_i\otimes b_i\|^2=\sum\|Ta_i\otimes b_i\|^2=\sum\|Ta_i\|^2\\
&\le&\|T\|^2\sum\|a_i\|^2=\|T\|^2\sum\|a_i\otimes b_i\|^2=\|T\|^2\|\sum a_i\otimes b_i\|^2\\
&\le&\|T\|^2\|t\|
\end{eqnarray*}

بصورت مشابه ثابت می شود که $\|\iota_{I,S}\|\le\|S\|\,\|t\|$. لذا $\iota_{T,S}$ کراندار می باشد.

توسیع $\iota_{T,S}$ بروی $\cal H\otimes K$ را دوباره با $\iota_{T,S}$ نمایش می دهیم. حال نگاشت دوخطی $(T,S)\mapsto\iota_{T,S}$ را از $\Bbb B({\cal H})\times\Bbb B(\cal K)$ بتوی $\Bbb B(\cal H\otimes K)$ در نظر می گیریم، لذا نگاشت خطی ضربی حافظ پیچش مانند $\iota:\Bbb B({\cal H})\odot\Bbb B({\cal K})\To \Bbb b(\cal H\otimes K)$ وجود دارد بطوریکه

\begin{align*}
\iota(\sum T_i\otimes S_i)(\sum a_j\otimes b_j)=\sum T_ia_j\otimes S_ib_j
\end{align*}

حال کافی است نشان دهیم $\iota$ یک به یک می باشد. فرض کنیم $(t=\sum T_i\otimes S_i)\in{\rm Ker}\ \iota$ که مجموعه $\{S_i\}$ در $\Bbb B(\cal K)$ مستقل خطی می باشد. نشان می دهیم که تمام $T_i$ صفر می باشند. برای هر $a_0\in\cal H$ قرار می دهیم

\begin{align*}
\sum T_ia_0\otimes S_i=\sum a_j\otimes R_j\in {\cal H}\odot {\Bbb B}(\cal K)
\end{align*}

که $R_j\in\Bbb B(\cal K)$و $\{a_j\}$در $\cal H$ مستقل خطی است. برای هر $k\in{\cal K}$ نگاشت $(a,S)\mapsto a\otimes Sk$ از ${\cal H}\times \Bbb B(\cal K)$ بتوی $\cal H\otimes K$ دوخطی می باشد و در نتیجه نگاشت $\sum a_l\otimes S_l\mapsto \sum a_l\otimes S_lk$ از ${\cal H}\odot \Bbb B(\cal K)$ بتوی $\cal H\otimes K$ خوشتعریف می باشد.حال با استفاده از معادله

\begin{align*}
۰=\sum\iota(T_i\otimes S_i)(a_0\otimes k)=\sum T_ia_0\otimes S_ik=\sum a_j\otimes R_jk
\end{align*}

نتیجه می شود که $R_jk=0$ برای هر $j$ و هر $k\in\cal K$ و لذا $R_j=0$ برای هر $j$. اما چون $\sum t_ia_0\otimes S_i=\sum a_j\otimes R_j=0$ در نتیجه $T_ia_0=0$ برای هر $i$ . حال چون $a_0\in\cal H$ دلخواه می باشد لذا $T_i=0$ و در نتیجه $t=0$.

$\blacksquare$

مدیریت وب‌سایت

کسی که هندسه نمی‌داند ، از این در وارد نشود. " کتیبه‌ی سر در آکادمی افلاطون "

نوشته‌های مرتبط