حاصل ضرب تانسوری (۲- ضرب و پیچش)

هنگاهی که $E$ و $F$ جبر می باشند می توان ضربی روی $E\odot F$ تعریف کرد با این خاصیت که برای هر $e_1, e_2\in E$ و $f_1, f_2\in F$ داریم $(e_1\otimes f_1)(e_2\otimes f_2):=e_1e_2\otimes f_1f_2$. برای تعریف چنین ضربی بصورت زیر عمل می کنیم.
ابتدا برای هر $e\in E$ و $f\in F$ ثابت، نگاشت دوخطی ${\psi}_{e,f}:E\times F\To E\odot F$ تعریف شده بصورت ${\psi}_{e,f}:(g,h)\mapsto eg\otimes fh$ را در نظر می گیریم با استفاده از گزاره ۲٫۱ نگاشت خطی منحصر بفردی مانند ${\varphi}_{e,f}:E\odot F\To E\odot F$ وجود دارد بطوریکه ${\varphi}_{e,f}\circ\pi={\psi}_{e,f}$.
حال نگاشت دوخطی $\varphi:E\times F\To {\rm Hom}(E\odot F)$ را به صورت $\varphi:(e,f)\mapsto{\varphi}_{e,f}$ تعریف می کنیم دوباره با استفاده از گزاره ۲٫۱ نگاشت خطی منحصر بفردی مانند $\mu:E\odot F\To E\odot F$ وجود دارد بطوریکه $\mu\circ\pi=\varphi$ و \begin{align*} \mu(\sum e_i\otimes f_i)(\sum g_j\otimes h_j)&=\sum\varphi(e_i,f_i)(\sum g_j\otimes h_j)\cr &=\sum{\varphi}_{e_i,f_i}(\sum g_j\otimes h_j)=\sum\sum e_ig_j\otimes f_ih_j \end{align*} حال عمل ضرب بین دو عنصر $s,t\in E\odot F$ را $t\cdot s:=\mu(t)(s)$ تعریف می کنیم و $E\odot F$ تبدیل به یک جبر می شود.
فضای برداری مزدوج، فضای برداری $V$ را با $V^c$ نمایش می دهیم. بنابراین $V$ با $V^c$ به عنوان گروه آبلی یکی هستند اما ضرب اسکالر روی $V^c$ به صورت $(\lambda,\upsilon)\mapsto\bar{\lambda}\upsilon$ تعریف می شود. اگر $V$ و $W$ فضاهای برداری مختلط باشند و $T:V\To W$ نگاشتی خطی و $S:V\To W$ نگاشتی مزدوج خطی باشد آنگاه نگاشتهای $T:V\To W^c$، $ T:V^c \To W $، $ S: V^c \To W^c $ خطی مزدوج و $T:V^c\To W^c$، $S:V\To W^c$، $S:V^c\To W$ خطی می باشند.
اگر $E$ و $F$ $*$-جبر باشند می توان یک پیچش روی $E\odot F$ وابسته به پیچشهای که روی $E$ و $F$ وجود دارد، تعریف کرد. فرض کنیم ${\frak s}:E\times F\To (E\odot F)^c$ نگاشت دوخطی تعریف شده به صورت ${\frak s}:(e,f)\mapsto e^*\otimes f^*$ باشد بنابر گزاره ۲٫۱ نگاشت یکتای $*:E\odot F\To (E\odot F)^c$ بطوریکه $*\circ\pi={\frak s}$. یعنی \begin{align*} (\sum e_i\otimes f_i)^*=\sum e_i^*\otimes f_i^* \end{align*}

گزاره ۵٫۱ : فرض کنید $B\:,\:A$ و $C$ جبر باشند. اگر $\psi:A\times B\To C$ نگاشت خطی ضربی ( یعنی $\psi(aa^\prime,bb^\prime)=\psi(a,b)\psi(a^\prime,b^\prime)$ ) باشد. آنگاه $\psi$ بطوریکتا به نگاشت خطی ضربی $\varphi:A\odot B\To C$ توسیع می یابد. اگر $\psi$ حافظ پیچش باشد، آنگاه $\varphi$ نیز چنین است.

اثبات: با استفاده از گزاره ۲٫۱ نگاشت خطی یکتای $\varphi:A\odot B\To C$ بطوریکه $\varphi\circ\pi=\psi$. لذا $\varphi(\sum a_i\otimes b_i)=\sum\psi(e_i,b_i)$. حال چون $\varphi$ خطی می باشد، کافی است ثابت کنیم \begin{align*} \varphi((a_1\otimes b_1)(a_2\otimes b_2))&=\varphi(a_1a_2\otimes b_1b_2)\cr &=\psi(a_1a_2,b_1b_2)\cr &=\psi(a_1,b_1)\psi(a_2,b_2)\cr &=\varphi(a_1\otimes b_1)\varphi(a_2\otimes b_2) \end{align*} لذا $\varphi$ ضربی می باشد. حال اگر $\psi$ حافظ پیچش باشد، دوباره با استفاده از خاصیت خطی $\varphi$ داریم $\varphi(a^*\otimes b^*)=\psi(a^*,b^*)=\psi(a,b)^*=\varphi(a\otimes b)^*$ و در نتیجه $\varphi$ حافظ پیچش می باشد. $\square$

با استفاده از گزاره های ۲٫۱ و ۵٫۱ نتایج مهم زیر را داریم

  • اگر $\psi_E:E\To G$ و $\psi_F:F\To H$ نگاشتهای خطی باشند، آنگاه $\psi_E\odot\psi_F:E\odot F\To G\odot H$ را نگاشت خطی تعریف شده به صورت $\psi_E\odot\psi_F:e\otimes f\mapsto \psi(e)\otimes\psi(f)$ در نظر می گیریم که توسیع نگاشت دوخطی $(e,f)\mapsto \psi(e)\otimes\psi(f)$ می باشد.
    اگر در فضاهای زمینه ضرب تعریف شده باشد و $\psi_E,\psi_F$ ضربی باشند آنگاه $\psi_E\odot\psi_F$ نیز ضربی خواهد بود.
  • اگر $\varphi_E:E\To G$ و $\varphi_F:F\To G$ نگاشتهای خطی و $G$ جبر باشد، آنگاه $\varphi_E\odot\varphi_F:E\odot F\To G$ را نگاشت تعریف شده به صورت $\varphi_E\odot\varphi_F:e\otimes f\mapsto \varphi_E(e)\,.\,\varphi_F(f)$ در نظر می گیریم که توسیع نگاشت دوخطی $(e,f)\mapsto \varphi_E(e)\,.\,\varphi_F(f)$ می باشد.
    اگر $E$ و $F$ جبر باشند و $\varphi_E,\varphi_F$ ضربی و جابجا (یعنی $\varphi_E(e)\varphi_F(f)=\varphi_F(f)\varphi_E(e)$) شوند، آنگاه $\varphi_E\odot\varphi_F$ نیز ضربی می باشند.
  • در مثالهای بالا با استفاده از نگاشتهای خطی روی فضاها، نگاشتهایی خطی روی ضرب تانسوری این فضاها تعریف کردیم. عکس این سوال نیز مهم است. یعنی آیا برای نگاشت $\xi:E\odot F\To G$، نگاشتهای $\varphi_E:E\To G$ و $\varphi_F:F\To G$ وجود دارد بطوریکه $\varphi_E\odot\varphi_F=\xi$. هنگامی که $\varphi_E$ و $\varphi_F$ وجود داشته باشند آنها را تحدید $\xi$ خوانیم.

مثال ۱٫۱ :

  • $A\simeq A\odot {\Bbb C}$ .
    فرض کنیم نگاشت خطی $\varphi:\sum a_k\otimes\lambda_k\mapsto \sum\lambda_k a_k$ از $A\odot{\Bbb C}$ بتوی $A$ توسیع نگاشت دوخطی $(a,\lambda)\mapsto \lambda a$ از $A\times{\Bbb C}$ به $A$ باشد. بوضوح $\varphi$ پوشا و یک به یک می باشد. اگر $A$ جبر (با پیچش) باشد آنگاه $\varphi$ ضربی (حافظ پیچش) می باشد.
  • جبرهای ماتریسی: $A\odot{\Bbb M}_n({\Bbb C})\simeq{\Bbb M}_n(A)$
    ماتریسهای $n\times n$ با ۱ در درایه با سطر $i$ و ستون $j$ و بقیه درایه ها صفر. لذا هر عضو $A\odot {\Bbb M}_n$ را می توان بطور منحصر بفرد به صورت \begin{align*} t=\sum a_{i j}\otimes e_{i j} \end{align*} نوشت. حال نگاشت $\psi:A\odot{\Bbb M}_n({\Bbb C})\To {\Bbb M}_n(A)$ تعریف شده بصورت $\psi:\sum a_{i j}\otimes e_{i j}\mapsto (a_{i j})$ خطی و ضربی ($e_{i j}\cdot e_{km}=\delta_{j k}\cdot e_{i m}$) و حافظ پیچش ($e_{i j}^*=e_{j i}$) می باشد و آشکارا دوسویی نیز می باشد.
  • نشاندن به عنوان زیرمجموعه چگال: $C_0(X)\odot A\hookrightarrow C_0(X\rightarrow A)$
    که $X$ فضای موضعاً فشرده و $A$ $C^*$-جبر می باشد. فرض کنیم نگاشت خطی $\varphi:C_0(X)\odot A\To C_0(X\rightarrow A)$ توسیع نگاشت دوخطی $\psi:C_0(x)\times A\To C_0(X\rightarrow A)$ تعریف شده به صورت $\psi:(f,a)\mapsto \psi_{(f,a)}$ که $\psi_{(f,a)}(x)=f(x)a$ اشد. واضح است که $\psi_{(f,a)}\in C_0(X\rightarrow A)$.
    حال ثابت می کنیم که $\varphi$ یک به یک می باشد. فرض کنیم $\{a_j\}_J$ پایه ای برای $A$ باشد. پس می توان هر عضو $C_0(X)\odot $ را بطور یکتا به صورت $\sum f_j\otimes a_j$ نوشت. حال فرض کنیم $\varphi(\sum f_j\otimes a_j)=0$ لذا $\sum\psi_{(f_j,a_j)}=0$ و در نتیجه برای هر $x\in X$ داریم $\sum\psi_{(f_j.a_j)}(x)=\sum f_j(x)a_j=0$ و در نتیجه برای هر $x\in X$ و هر $j$ داریم $f_j(x)=0$ و $f_j\equiv 0$ پس $\sum f_j\otimes a_j=0$ و $\varphi$ یک به یک می باشد.
    حال نشان می دهیم که $C_0(X)\odot A$ در $C_0(X\rightarrow A)$ چگال می باشد.
    فرض کنیم $f\in C_0(X\rightarrow A)\ ,\ 0<\epsilon$ و $f_0\in C_c(X\rightarrow A)\subset C_0(X\rightarrow A)$ تقریبی از $f$ با تکیه گاه $X_0\subset X$ باشد. ((توسیعی از گزاره ۳۵.۴ کتاب آنالیز حقیقی فولند را به کار بردیم)) حال $X_0$ را مجموعه های باز زیر پوشش می دهیم
    \begin{align*} {\cal O}_x:=\{\ y\in X\ ;\ \|\ f_0(x)\ -\ f_0(y)\ \|\ <\ \epsilon\ \} \end{align*} چون $X_0$ فشرده می باشد لذا این پوشش دارای زیر پوشش متناهی می باشد. پس $x_1,\ldots,x_n$ وجود دارد بطوریکه $X_0\subseteq\cup_{i=1}^{n} {\cal O}_{x_i} $ . با استفاده از قضیه افراز واحد ((گزاره ۴۱.۴ کتاب آنالیز حقیقی فولند)) روی $X_0$ داریم:
    توابع $g_{x_i}\in C_0(X\rightarrow [0,1])$ وجود دارد بطوریکه $g_{x_i}|X_0\backslash{\cal O}_{x_i}=0$ و $\sum g_{x_i}=1$ روی $X_0$ و $۰\leq\sum g_{x_i}\leq 1$ روی $X\backslash X_0$ . فرض کنیم $g:=\sum g_{x_i}\otimes f(x_i)$ پس $g\in C_0(X)\odot A$ و $\varphi(g)$ تقریبی از $f_0$ و لذا تقریبی از $f$ می باشد.

مدیریت وب‌سایت

کسی که هندسه نمی‌داند ، از این در وارد نشود. " کتیبه‌ی سر در آکادمی افلاطون "

نوشته‌های مرتبط

قوانین ارسال دیدگاه

  • دیدگاه های فینگلیش تایید نخواهند شد.
  • دیدگاه های نامرتبط به مطلب تایید نخواهد شد.
  • از درج دیدگاه های تکراری پرهیز نمایید.
دیدگاه‌ها

*
*