حاصل ضرب تانسوری (۱-فضاهای برداری)

گزاره ۱٫۱ : فرض کنید $G_1,F,E$ و $G_2$ فضاهای برداری و \begin{align*} \pi_2 : E \times F \To G_2 \quad , \quad \pi_1 : E \times F \To G_1 \end{align*} نگاشتهای دوخطی باشند.اگر برای هر فضای برداری $M$ وهر نگاشت دوخطی $ \chi : E \times F \To M $ نگاشتهای خطی منحصر به فرد \begin{align*} \eta_2 : G_2 \To M \qquad , \qquad \eta_1 : G_1 \To M \end{align*} وجود داشته باشد بطوریکه $ \eta_2 \! \circ \pi_2 =\chi $ و $ \eta_1 \! \circ \pi_1 =\chi $، آنگاه یک ایزومرفیسم مانند $ \varphi : G_1 \To G_2 $ وجود دارد بطوریکه $ \varphi \circ \pi_1 = \pi_2 $ .

diyagram

اثبات: ابتدا فرض کنیم $ M = G_2 $ و $ \chi = \pi_2 $ آنگاه بنابر فرض $ \psi_1 : G_1 \To M = G_2 $ بطوریکه $ \psi_1 \circ \pi_1 = \pi_2 $. حال $ M = G_1 $   و $ \chi = \pi_1 $ آنگاه بنابر فرض $ \psi_2 : G_2 \To M = G_1 $ بطوریکه $ \psi_2 \circ \pi_2 = \pi_1 $.  با ترکیب دو رابطه بالا داریم \begin{align*} (\psi_1 \circ \psi_2) \circ \pi_1 = \pi_2 \qquad , \qquad (\psi_2 \circ \psi_1) \circ \pi_1 = \pi_1 \end{align*} حال چون $ {\rm id}_{G_1} \circ \pi_1 = \pi_1 $ و $ {\rm id}_{G_2} \circ \pi_2 = \pi_2 $ تجزیه های دیگری از این نوع می باشند. لذا بنابر یکتایی تجزیه داریم: \begin{align*} \psi_1 \circ \psi_2 = {\rm id}_{G_2} \qquad , \qquad \psi_2 \circ \psi_1 = {\rm id}_{G_1} \end{align*} و در نتیجه $ \psi_1 $ یک به یک و پو شا می باشد و $ \psi_1 \circ \pi_1 = \pi_2 $ . در نتیجه $ \varphi = \psi_1 $ و اثبات کامل می شود.
$\blacksquare$

نکته ۱٫۱ : با توجه به اثبات گزاره ۱٫۱ شرط یکتایی تجزیه اساسی می باشد. با این حال هنگامی که نگاشتهای ${\pi}_1$ و ${\pi}_2$ پوشا هستند و یا بردشان به ترتیب $ G_1 $ و $ G_2 $ را تولید می کند تجزیه یکتاست.
فرض کنیم $ \chi : E\times F \To M $ نگاشت دوخطی باشد و $ \beta : G_1 \To M $ و $ \beta’ : G_1 \To M $ دو تجزیه مختلف برای $ \chi $ باشند یعنی $ \beta \circ \pi_1 = \chi $ و $ \beta’ \circ \pi_1 = \chi $. اگر هر $ g \in G_1 $ را بتوان به صورت $ g= \sum \pi_1 (e_i,f_i) $ آنگاه $ \chi =\beta \circ \pi_1 =\beta’ \circ \pi_1 $ نتیجه می دهد که \begin{align*} \beta (g) &= \beta \left( \sum \pi_1 (e_i,f_i) \right) = \sum \chi(e_i,f_i)\cr &= \sum {\beta}'(\pi_1 (e_i,f_i)) = \beta’ \left( \sum \pi_1(e_i,f_i) \right) = \beta'(g) \end{align*} لذا  $ \beta = \beta’ $.

ساختار ضرب تانسوری جبری

فرض کنیم $E$ و $F$ فضای برداری باشند

 diyagram2

در حالت کلی $X^{(Y)}$ مجموعه تمام نگاشتهای از $Y$ بتوی $X$ می باشند بطوریکه دارای برد متناهی هستند. اعمال روی ${\Bbb C}^{(E \times F)}$ را به صورت زیر تعریف می کنیم : \begin{align*} \sum\lambda(e,f)+\sum\mu(e,f)=\sum(\lambda+\mu)(e,f) \end{align*} \begin{align*} \mu\sum\lambda(e,f)=\sum(\mu\lambda)(e,f) \end{align*} بااین اعمال ${\Bbb C}^{(E \times F)}$ به فضای برداری روی $\Bbb C$ با پایهٔ $E\times F$ تبدیل می شود. حال زیر فضای برداری تولید شده توسط عناصر زیر را $ \cal{N} $ می نامیم \begin{align*} (e_1+e_2,f)-(e_1,f)-(e_2,f) \end{align*} \begin{align*} (e,f_1+f_2)-(e,f_1)-(e,f_2) \end{align*} \begin{align*} \lambda(e,f)-(\lambda e,f)\quad \mbox{و}\quad \lambda(e,f)-(e,\lambda f) \end{align*} که $ e,e_1,e_2 \in E ,\ f,f_1,f_2 \in F $ و $ \lambda \in \Bbb C $ . حال ضرب تانسوری جبری $E$ و $F$ را فضای خارج قسمتی \begin{align*}E \odot F := {\Bbb C}^{(E \times F)}/ \cal N \end{align*} تعریف می کنیم. حال اگر $\pi$ نگاشت خارج قسمتی از ${\Bbb C}^{(E\times F)}$ بروی $E\odot F$ باشد آنگاه چون \begin{align*} \lambda(e,f)-(\lambda e,f)\in{\cal N}\quad {\mbox{و}}\quad (e_1+e_2,f)-(e_1,f)-(e_2,f)\in{\cal N} \end{align*} \begin{align*} \lambda(e,f)-(e,\lambda f)\in{\cal N}\quad {\mbox{و}}\quad (e,f_1+f_2)-(e,f_1)-(e,f_2)\in{\cal N} \end{align*} داریم \begin{align*} \pi(\lambda e_1+e_2,f)=\lambda\pi(e_1,f)+\pi(e_1,f) \end{align*} \begin{align*} \pi(e,\lambda f_1+f_2)=\lambda\pi(e,f_1)+\pi(e,f_2) \end{align*} لذا تحدید $\pi$ بروی $E\times F$ دوخطی می باشد. عناصر $\pi(e,f)\in E\odot F$ که $e\in E,\ f\in F$ را عناصر ابتدایی می نامیم و با $e\otimes f$ نمایش می دهیم. چون $\pi$ پوشا می باشد هر عضو $t$ در $E\odot F$ را می توان به صورت مجموع متناهی از عناصر ابتدایی نوشت. \begin{align*} t= \sum_{i=1}^{N} e_i\otimes f_i \end{align*} اما این مجموع یکتا نیست چون $\pi$ یک به یک نیست. با توجه به ساختار $E\odot F$ داریم \begin{align*} (e_1+e_2)\otimes f=e_1\otimes f+e_2\otimes f \end{align*} \begin{align*} e\otimes(f_1+f_2)=e\otimes f_1+e\otimes f_2 \end{align*} \begin{align*} \lambda(e\otimes f)=\lambda e\otimes f=e\otimes \lambda f \end{align*} از روابط بالا آشکار است که برای هر $e\in E,\ f\in F$ داریم \begin{align*} ۰=۰\otimes 0=0\otimes f=e\otimes 0 \end{align*}

گزاره ۲٫۱ : فرض کنید $F,E$ فضای برداری و $\pi:E\times F\To E\odot F$ نگاشت دوخطی کانونی باشد.اگر $M$ یک فضای برداری و $\psi:E\times F\To M$ نگاشت دوخطی باشد آنگاه $\psi$ بطوریکتا روی $E\odot F$ توسیع می یابد یعنی نگاشت خطی یکتای $\varphi:E\odot F\To M$ وجود دارد بطوریکه $\varphi\circ\pi=\psi$.

اثبات: ابتدا $\psi$ را با استفاده از خاصیت خطی به نگاشت خطی $\tilde{\psi} :{\mathbb C}^{(E\times F)}\To M$ بصورت زیر توسیع می دهیم \begin{align*}\tilde{\psi} \left(\sum\lambda(e,f)\right)=\sum\lambda\psi(e,f),\qquad e\in E,\ f\in F,\ \lambda\in{\mathbb C} \end{align*} با توجه به خواص خطی $ \psi $ واضح است که $ \tilde{\psi}({\mathcal N})=0 $. حال نگاشت $ \varphi:E\odot F\To M $ را به صورت زیر تعریف می کنیم. فرض کنیم $ t\in E\odot F $ پس $ x\in {\mathbb C}^{(E\times F)} $ وجود دارد بطوریکه $ \pi(x)=t $ قرار می دهیم $ \varphi(t)=\tilde{\psi}(x)$. حال چون $ \tilde{\psi}({\mathcal N})=0 $ ، اگر $ t_1 , t_2 \in E\odot F $ و $ t_1=t_2 $ لذا $ t_1-t_2\in{\mathcal N} $ و در نتیجه $ \tilde{\psi}(t_1-t_2)=0 $ و $ \varphi(t_1)=\varphi(t_2) $ . لذا $ \varphi $ خوشتعریف است.
فرض کنیم $ \gamma\in{\mathbb C}\ ,\ t_1=\pi(\sum\lambda(e,f))\in E\odot F\ ,\ t_2=\pi(\sum\mu(e,f))\in E\odot F $ پس \begin{align*} \varphi(\gamma t_1+t_2)&=\varphi(\gamma(\pi(\sum\lambda(e,f)))+\pi(\sum\mu(e,f)))\\ &=\varphi(\pi(\sum(\gamma\lambda+\mu)(e,f))= \tilde{\psi}(\sum(\gamma\lambda+\mu)(e,f))\\ &=\tilde{\psi}(\sum(\gamma\lambda(e,f))+ \tilde{\psi}(\sum\mu(e,f))= \gamma(\tilde{\psi}(\sum\lambda(e,f)))+\tilde{\psi}(\sum\mu(e,f))\\ &=\gamma(\varphi(\pi(\sum\lambda(e,f))))+ \varphi(\pi(\sum\mu(e,f)))\\ &=\gamma(\varphi(t_1))+\varphi(t_2) \end{align*} لذا $ \varphi $ خطی می باشد و داریم $ \varphi\circ\pi(e,f)=\psi(e,f)$. $\blacksquare$

نکته ۲٫۱ : بنابر گزاره بالا می توان گفت $E\odot F$ فضای برداری یکتای است بطوریکه برای هر فضای برداری $ M $ داریم \begin{align*} {\rm\bf Bil}(E\times F ,\ M)\simeq{\rm\bf Lin}(E\odot F ,\ M) \end{align*} توجه داریم که پیوستگی $ \psi $ پیوستگی $ \varphi $ را ایجاب نمی کند حتی اگر $ \pi $ پیوسته باشد. ما این مطلب را بعداً مورد بررسی قرار می دهیم.

گزاره ۳٫۱ : اگر $ \{ e_j \}_{\mathcal J} $ پایه‌ای برای $ E $ و $ \{ f_k \}_{\mathcal K} $ پایه‌ای برای $ F $ باشد. آنگاه $ \{{e_j}\otimes {f_k}\}_{\mathcal J\times\mathcal K} $ پایه‌ای برای $ E\odot F $ می باشد و $ {\rm dim}(E\odot F)={\rm dim}(E){\rm dim}(F) $ . علاوه بر این داریم \begin{align*} E^{(\mathcal K)}\simeq E\odot F\simeq F\odot E \quad\mbox{و}\quad E\odot(F\odot G)\simeq(E\odot F)\odot G \end{align*} که $ E^{({\mathcal K})} $ فضای تمامی نگاشتها از $\mathcal K $ بتوی $ E $ با برد متناهی می باشند.

اثبات: فرض کنیم $ G_1:=E\odot F $ و $ G_2:=E^{(\mathcal K)} $ . گزاره ۱٫۱ را بکار می بریم و ثابت می کنیم که $ G_1\simeq G_2 $ . نگاشتهای دوخطی $ \pi_1:E\times F\To G_1 $ و $ \pi_2:E\times F\To G_2 $ بصورت زیر تعریف می کنیم \begin{align*} {\pi}_1:(e,f)\mapsto e\otimes f\ ,\quad \pi_2:(e,\sum_{k\in\mathcal K}{\lambda_k}f_k )\mapsto({\lambda_k}e)_{k\in\mathcal K} \end{align*} توجه داریم که $ G_1 $ و $ G_2 $ توسط برد نگاشتهای $ \pi_1 $ و $ \pi_2 $ تولید می شود. مجموعهٔ \begin{align*} \{\ \pi_2(e_j,f_k)=(\delta_{k i}\,e_j)_{i\in{\mathcal K}}\ ;\ (j,k)\in {\mathcal J\times K}\ \} \end{align*} پایه‌ای برای $ E^{(\mathcal K)} $ می باشد. فرض کنید $ \chi $ نگاشتی دو خطی از $ E\times F $ به توی فضای برداری $ M $ باشد. با استفاده از گزاره ۲٫۱ نگاشت خطی منحصر بفرد $ \eta_1:E\odot F\To M $ بطوریکه $ \eta_1\circ\pi_1=\chi $.
حال نگاشت $ \eta_2:{E^{(\mathcal K)}}\To M $ را به صورت زیر تعریف می کنیم \begin{align*} \eta_2((e_k)_{\mathcal K}):=\sum_{\mathcal K} \chi(e_k,f_k) \end{align*} چون $ \chi $ دوخطی می باشد لذا $ \eta_2 $ خطی می باشد و داریم \begin{align*} \eta_2\circ\pi_2(e,\sum_{\mathcal K}{\lambda_k}f_k)=\eta_2(({\lambda_k}e)_{\mathcal K})=\sum_{\mathcal K}\chi({\lambda_k}e,f_k)=\chi(e,\sum_{\mathcal K}{\lambda_k}f_k) \end{align*} پس $ \eta_2\circ\pi_2=\chi $.
و با استفاده از گزاره ۱٫۱ نتیجه می شود که $ E\odot F\simeq E^{(\mathcal K)} $ و یک ایزومرفیسم $ \varphi:E\odot F\To E^{(\mathcal K)} $ بطوریکه $ \varphi\circ\pi_1=\pi_2 $. بویژه $ \varphi(e_j\otimes f_k)=\pi_2(e_j,f_k) $ و در نتیجه مجموعهٔ \begin{align*} \{ e_j \otimes f_k\ ;\ (e_j,f_k)\in{\mathcal J\times K} \}={\varphi}^{-1} \{ \pi_2 (e_j,f_k)\ ;\ (j,k)\in{\mathcal J\times K} \} \end{align*} که تصویر ایزومرفیک پایه‌ای از $ E^{(\mathcal K)} $ می باشد، پایه‌ای برای $ E\odot F $ می باشد.
حال نگاشت خطی القا شده توسط نگاشت دوخطی $ (e,f)\mapsto f\otimes e $ را در نظر می گیریم واضح است که $ \phi $ ایزومرفیسم می باشد چون پایه را به پایه می برد و لذا $ E\odot F\simeq F\odot E $.
بطور مشابه نگاشت $ \phi:(e,f\otimes g)\mapsto (e\otimes f)\otimes g $ از $ E\times(F\odot G) $ بتوی $ (E\odot F)\odot G $ دوخطی می باشد زیرا \begin{align*} \phi((\lambda e_1+e_2),f\otimes g)&=((\lambda e_1+e_2)\otimes f)\otimes g\cr &=(\lambda(e_1\otimes f))\otimes g+(e_2\otimes f)\otimes g\cr &=\lambda\phi((e_1,f\otimes G))+\phi((e_2,f\otimes G)) \end{align*} \begin{align*} \phi(e,\lambda(f_1\otimes g_1)+f_2\otimes g_2)=\lambda\phi(e,f_1\otimes g_1)+\phi(e,f_2\otimes g_2) \end{align*} حال نگاشت القا شده توسط $ \phi $ درنظر می گیریم که یک ایزومرفیسم از $ E\odot (F\odot G) $ به $ (E\odot F)\odot G $ می باشد.
$\blacksquare$

از گزاره بالا داریم $ E\odot F $ و $ F\odot E $ بطورجبری ایزومرفیسم می باشند اما نرمهای نامتقارنی وجود دارند که $ E\odot F $ و $ F\odot E $ را تبدیل به فضاهای نرمدار متفاوتی می کند.

گزاره ۴٫۱ : فرض کنیم $ f_1,f_2,\dots,f_N\in F $ مستقل خطی باشند. اگر $ e_1,e_2,\dots,e_N\in E $ و $ \sum_{i=1}^Ne_i\otimes f_i=0$ آنگاه $ e_1=e_2=\cdots=e_N=0 $.
بویژه اگر $ \{f_k\}_K $ پایه ای برای $F$ باشد آنگاه هر $ t\in E\odot F $ نمایش منحصر به فرد $ \sum_Ne_k\otimes f_k $ (مجموع متناهی) دارد.

اثبات: فرض کنیم $ \{ {\mathfrak e}_1,{\mathfrak e}_2,\dots,{\mathfrak e}_n \} $ پایه ای برای $ \mathfrak E :={\rm Span}\{e_1,e_2,\dots,e_N\} $ واضح است که $ n\leqslant N $ و $ \{{\mathfrak e}_{\,l}\}_L $ توسیع $ \{\mathfrak{e_1,e_2,\dots,e_n}\} $ به پایه ای برای $ E $ باشد و $ \{f_k\}_K $ توسیع $ \{f_1,f_2,\dots,f_N\} $ به پایه ای برای $F$ باشد. لذا $ e_i=\sum_{j=1}^n \lambda_{i j}{\mathfrak e}_j $ برای $ ۰\leqslant i\leqslant N $ و \begin{align*} ۰=\sum^N_{i=1}e_i\otimes f_i=\sum^N_{i=1}(\sum_{j=1}^n\lambda_{i j}{\mathfrak e}_j)\otimes f_i=\sum_{i=1,j=1}^{N,n}\lambda_{i j}({\mathfrak e}_j\otimes f_i) \end{align*} چون $\{{\mathfrak e}_{\,l}\otimes{f_k}\}_{L\times K} $ پایه ای برای $ E\odot F $ می باشد. لذا $ \lambda_{i j}=0 $ برای هر $ ۱\leqslant i\leqslant N , 1\leqslant j\leqslant n $ و در نتیجه $ e_1=e_2=\cdots=e_N $ و قسمت اول گزاره اثبات می شود.
حال اگر $ \{f_k\}_K $ پایه ای برای $F$ باشد، پایه ای مانند $ \{e_l\}_L $ برای $E$ انتخاب می کنیم و در نتیجه هر عضو $E\odot F$ را می توان به صورت یکتا به صورت $\sum \lambda_{l k}(e_l\otimes f_k)$ نوشت که تعداد متناهی از $\lambda_{l k}$ غیر صفر می باشند. فرض کنیم $\sum_{i=1}^n\lambda_i(e_i\otimes f_i)$ عضوی از $E\odot F$ باشد این شکل نمایش همانگونه که گفته شد یکتا می باشد و در نتیجه $\sum_{i=1}^n\lambda_i(e_i\otimes f_i)=\sum_{i=1}^n(\lambda_ie_i)\otimes f_i $ و لذا حکم دوم نیز ثابت می شود. $\blacksquare$

مدیریت وب‌سایت

کسی که هندسه نمی‌داند ، از این در وارد نشود. " کتیبه‌ی سر در آکادمی افلاطون "

نوشته‌های مرتبط

قوانین ارسال دیدگاه

  • دیدگاه های فینگلیش تایید نخواهند شد.
  • دیدگاه های نامرتبط به مطلب تایید نخواهد شد.
  • از درج دیدگاه های تکراری پرهیز نمایید.
دیدگاه‌ها

*
*