گروپوید

تعریف ۱: یک گروپوید (1) Groupoid مجموعه $G$ بهمراه نگاشت ضربی $(x,y)\mapsto xy$  ، $G^2\to G$ که $G^2$ زیرمجموعه $G\times G$ می باشد که عناصرش را جفت های ترکیب پذیر (2) composable pairs می نامیم بهمراه نگاشت معکوس $x\mapsto x^{-1}$ ، $G\to G$ که $x^{-1}$ را معکوس $x$ می می نامیم بطوریکه در روابط زیر صدق می کند :

  1.  $(x^{-1})^{-1} = x $. (3) involution
  2. اگر $(x,y),(y,z)\in G^2$ آنگاه $(xy,z),(x,yz)\in G^2$ و $(xy)z=z(yz)$. (4) associativity
  3. $(x^{-1},x),(x,x^{-1})\in G^2$ و اگر $(x,y)\in G^2$ آنگاه $ x^{-1}(xy)= y$ و بطور مشابه $(xy)y^{-1}=y$. (5) cancellation
بعضی از روابط تعریف بالا اصل های تعریف گروه معمولی را یاد اوری می کند. ولی برعکس گروه، تعریف ضرب بصورت جزئی نتیجه می دهد که عناصر مختلفی در $G$ شبیه واحد رفتار می کنند.
اگر $x\in G$، $d(x)=x^{-1}x$ را دامنه $x$ می نامیم و $r(x)=xx^{-1}$ برد $x$ خوانده می شود.

تعریف ۲: فرض کنیم $G$ یک گروپوید باشد. مجموعه عناصر $G$ بطوریکه $x=x^{-1}=x^2$ را با $G^(0)$ نمایش می دهیم و فضای واحد(6) unit space می نامیم. نگاشت $r: G\to G^(0)$ بطوریکه $r(x)=xx^{-1}$ را نگاشت برد (7) range map می خوانیم و نگاشت $r: G\to G^(0)$ بطوریکه $s(x)=x^{-1}x$ را نگاشت منشاء (8) source map می خوانیم. ما نماد های زیر $G_u:=s^{-1}(u)$ و $G^u:=r^{-1}(u)$ را بکار خواهیم برد.

تذکر ۳: فرض کنیم $G$ یک گروپوید و $A,B$ زیر مجموعه $G$ باشند. داریم \begin{eqnarray*} AB=A\cdot B=\setm{xy}{x\in A,\; y\in B,\; (x,y)\in G^{(2)}}\qquad A^{-1}:=\setm{x^{-1}}{x\in A} \end{eqnarray*}

گزاره :

\begin{eqnarray*} (x,y)\in G^2\Longleftrightarrow d(x)=r(y) \end{eqnarray*}

اثبات :

فرض کنیم $(x,y)\in G^2$ و $(x^{-1},x)\in G^2$ لذا داریم

\begin{eqnarray*} x^{-1}(xy)=(x^{-1}x)y \To (x^{-1}x,y),(x^{-1},xy)\in G^2 \end{eqnarray*}

و چون $(x,y)\in G^2$ و $(y,y^{-1})\in G^2$ لذا داریم

\begin{eqnarray*} (xy)y^{-1}=x(yy^{-1})=y \To (xy,y^{-1}),(x,yy^{-1})in G^2 \end{eqnarray*}

در نتیجه

\begin{eqnarray*}(x^{-1}x,y),(y,y^{-1})\in G^2\To (x^{-1}x)(yy^{-1})=((x^{-1}x)y)y^{-1}=x^{-1}x\\ (x^{-1},x),(x,yy^{-1})\in G^2\To (x^{-1}x)(yy^{-1})=x^{-1}(x(yy^{-1}))=yy^{-1} \end{eqnarray*}

 پس $d(x)=r(t)$. اثبات عکس مشابه بالا می باشد.

$\blacksquare$

 $G^0=d(G)=r(G)$ را فضای واحد $G$ می نامیم و عناصرش را عناصر واحد می نامیم زیرا

پاورقی[+]

برچسب‌ها:
مدیریت وب‌سایت

کسی که هندسه نمی‌داند ، از این در وارد نشود. " کتیبه‌ی سر در آکادمی افلاطون "

نوشته‌های مرتبط

قوانین ارسال دیدگاه

  • دیدگاه های فینگلیش تایید نخواهند شد.
  • دیدگاه های نامرتبط به مطلب تایید نخواهد شد.
  • از درج دیدگاه های تکراری پرهیز نمایید.
دیدگاه‌ها

*
*