مشتق فرشه روی فضای باناخ-۲

نگاشت ها و جمع مستقیم

قبل از ادامه بحث درباره خواص مشتق، به تعمیم اصل ماتریس ها روی فضاهی باناخ می پردازیم. فرض کنید $E_1,\dots,E_m$ و $F_1,\dots,F_n$ فضاهای برداری باشند و $\lambda:E_1\times\cdots\times E_m\to F_1\times\cdots\times F_n$ نگاشتی خطی باشد. بنابراین نگاشت های منحصر بفرد $\lambda_{i,j}:E_j\to F_i$ وجود دارند بطوریکه $\lambda_{i,j}=\pi_i\circ\lambda\circ\iota_j$ که نگاشت $\pi_i:F_1\times\cdots\times F_n\to F_i$ تصویر استاندارد (1)canonical projection و $\iota_j:E_j\to E_1\times\cdots\times E_m$ انژکسیون استاندارد (2)canonical injection می باشد. در این حالت \begin{equation*} \lambda=\begin{bmatrix} \lambda_{1,1} & \cdots & \lambda_{1,m} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \lambda_{n,1} & \cdots & \lambda_{n,m} \end{bmatrix} \end{equation*} را ماتریس نمایش $\lambda$ می نامیم. و $\lambda_{i,j}$ را مولفه های $\lambda$ می نامیم. اگر $\tau:F_1\times\cdots\times F_n\to G_1\times\cdots\times G_p$ نگاشت خطی دیگری باشد، بررسی اینکه $\tau\circ\lambda$ بوسیله ضرب نمایش ماتریس $\tau$ در نمایش ماتریس $\lambda$ بدست می اید آسان است. از طرف دیگر اگر ما با نگاشت های خطی $\lambda_{i,j}$ آغاز کنیم، آنگاه نگاشت منحصر بفرد $\lambda$ وجود دارد بطوریکه $\lambda_{i,j}$ مولفه های آن می باشند. این وضعیت دقیقا مشابه بلوک های ماتریسی در $\mathbb{R}$ یا $\mathbb{C}$ می باشد. لذا از بحث بیشتر در این مورد خود داری می کنیم.

قضیه ۸: فرض کنید $A\subseteq E$ یک مجموعه باز و $F_1,\dots,F_n$ فضاهای باناخ باشند، فرض کنید تابع $f:A\to F_1\times\cdots\times F_n$ و $f_i=\pi_i\circ f$ توابع مولفۀ $f$ موجود باشند.که $\pi_i:F_1\times\cdots\times F_n\to F_i$ تصویر استاندارد می باشند. تابع $f$ در نقطۀ $x\in A$ مشتق پذیر باشد اگر و تنها اگر هر $f_i$ در $x\in A$ مشتق پذیر باشد. در این حالت داریم $f’_i(x)=\pi_i\circ f’(x)$، یعنی \begin{align*} f’(x) = \begin{bmatrix}f’_۱(x) \\ \vdots \\ f’_n(x)\end{bmatrix}. \end{align*}

اثبات: اگر $\lambda$ نگاشت خطی باشد آنگاه مولفه $i$ام (متناظر با تجریه جمع مستقیم) \begin{equation*} T(h)=\frac{f(x+h)-f(x)-\lambda h}{|h|} \end{equation*} تابع زیر می باشد \begin{equation*} T_i(h)=\frac{f_i(x+h)-f_i(x)-\pi_i\lambda h}{|h|}. \end{equation*} بنابراین $T(h)$ به صفر، هنگامی که $h\to 0$ میل می کند اگر و تنها اگر $T_i(h)$ به صفر، هنگامی که $h\to 0$ میل کند. اثبات حکم دوم آسان می باشد. $\square$

قضیه اساسی حساب دیفرانسیل (3)The fundamental theorem of calculus

تعریف مشتق را می توان بطور طبیعی به بازه های بسته (با بیش از یک نقطه) در $\mathbb{R}$ توسیع داد. اگر $f:[a,b]\to E$ مشتق پذیر باشد و $x\in[a,b]$، آنگاه $f’$ یک نگاشت خطی از $\mathbb{R}$ بتوی $E$ می باشد. برای آسانی ما $f'(x)(1)$ را با $f'(x)$ یکی می گیریم و می نویسیم $f’(x)=c\in E$، که $c=f’(x)(1)$. و این با تعریف مقدماتی مشتق مانند \begin{equation*} f’(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}. \end{equation*} منطبق می شود.

لم ۹: فرض کنید $f:[a,b]\to E$ تابعی مشتق پذیر باشد. اگر $f'(x)=0$ برای تمام $x\in[a,b]$، انگاه $f$ تابعی ثابت می باشد.

اثبات: فرض کنیم برای $t\in[a,b]$ داشته باشیم $f(t)\ne f(a)$. با استفاده از قضیه هان-باناخ (4)Hahn Banach theorem می توان فانکشنال خطی (5)linear functional $\lambda:E\to\mathbb{R} $ را طوری انتخاب کرد که داشته باشیم $\lambda(f(t))\ne \lambda(f(a))$. در نتیجه $\lambda\circ f$ مشتق پذیر می باشد و برای تمام $x\in[a,b]$ داریم $(\lambda\circ f)’(x)=0$. در نتیجه $\lambda\circ f$ تابع ثابت می باشد و این یک تناقض می باشد. $\square$

برای مطالعه مشتق بحث در مورد انتگرال اساسی می باشد. فرض می کنیم خواننده با وجود انتگرال روی توابعی پیوسته باناخ مقدار روی بازه های بسته آشنایی دارد. جهت اطلاعات بیشتر به انتگرال باکنر رجوع شود.

قضیه ۱۰(قضیه اساسی حساب دیفرانسیل) : فرض کنید $f:[a,b]\to E$ تابع انتگرال پذیر باشد و $f$ در $x\in[a,b]$ پیوسته باشد. آنگاه نگاشت \begin{equation*} t\mapsto\int_a^t f \end{equation*} در $x$ مشتق پذیر بوده و مشتقش برابر $f(x)$ می باشد.

اثبات: وقتی $h\to 0$ داریم \begin{align*} \frac{1}{|h|}\left\vert \int_a^{x+h} f – \int_a^x f – f(x)h \right\vert &= \frac{1}{|h|}\left\vert \int_x^{x+h} [f(t)-f(x)]\,dt \right\vert \\ &\le \sup_t |f(t)-f(x)| \\ &\to 0 \end{align*} که سوپریمم روی تمام $t$ های بین $x$ و $x+h$ انجام می گیرد که $f(t)$ تعریف شده است. $\square$

نتیجه ۱۱: فرض کنیم $f:[a,b]\to E$ تابعی پیوسته باشد، و $F:[a,b]\to E$. فرض کنیم برای تمام $x\in[a,b]$ داریم $F’(x)=f(x)$. آنگاه \begin{equation*} \int_a^b f = F(b)-F(a). \end{equation*}

اثبات: لم ۹ را برای نگاشت زیر بکار می بریم \begin{equation*} x \mapsto F(x) – \int_a^x f. \end{equation*} $\square$

نتیجه ۱۲: فرض کنید $E_1,E_2,F$ فضای باناخ باشند و نگاشت دوخطی پیوسته $\cdot:E_1\times E_2\to F$ موجود باشد. فرض کنید $f:[a,b]\to E_1$ و $g:[a,b]\to E_2$ توابع بطور پیوسته مشتق پذیر باشند. آنگاه \begin{equation*} \int_a^b f’g + \int_a^b fg’ = f(b)g(b)-f(a)g(a). \end{equation*}

اثبات: بوسیله قاعد ضرب داریم $(fg)’=f’g+fg’$. لذا با استفاده از نتیجه ۱۱ اثبات می شود. $\square$

نامساوی های مقدار میانی (6)Mean value inequalities

فرض کنیم $\alpha:[a,b]\to L(E,F)$ نگاشت پیوسته بتوی فضای نگاشت های خطی از $E$ بتوی $F$ باشد. اگر $x\in[a,b]$ و $y\in E$ آنگاه برای $\alpha(x)(y)\in F$ می نویسیم $\alpha(x)y$.

لم ۱۳: فرض کنیم $\alpha:[a,b]\to L(E,F)$ یک نگاشت پیوسته و $y\in E$ باشد. آنگاه \begin{equation*} \int_a^b \alpha(t)y\,dt = \left(\int_a^b \alpha(t)\,dt\right)y. \end{equation*}

اثبات: نگاشت $\lambda\mapsto\lambda(y)$ نگاشت خطی پیوسته از $L(E,F)$ بتوی $F$ می باشد. و نتیجه از این حقیقت ناشی می شود که \begin{equation*} \varphi \int_X f = \int_X \varphi \circ f \end{equation*} که $\varphi$ نگاشت خطی پیوسته بین فضاهای باناخ می باشد. $\square$

قضیه ۱۴(قضیه مقدار میانی): فرض کنید $A\subseteq E$ مجموعه باز باشد و $f:A\to F$ تابع بطور پیوسته مشتق پذیر باشد. فرض کنید $x\in A$ و $v\in E$. اگر پاره خط $x+tv$، $۰\le t\le 1$ در $A$ قرار داشته باشد. آنگاه \begin{equation*} f(x+v)-f(x)=\int_0^1 f’(x+tv)v\,dt=\left(\int_0^1 f’(x+tv)\,dt\right)v. \end{equation*}

اثبات: قرار می دهیم $g(t)=f(x+tv)$. در نتیجه $g’(t)=f’(x+tv)v$. بوسیله قضیه اساسی حساب دیفرانسیل داریم \begin{equation*} g(1)-g(0)=\int_0^1 g’. \end{equation*} چون $g(0)=f(x)$ و $g(1)=f(x+v)$، لذا بوسیله لم ۱۳ حکم برقرار می باشد. $\square$

قضیه مقدار میانی نشان می دهد که تغیرات $f(x)$ بوسیله مشتق و تغیرات $x$ مشخص می شود. لذا نتیجه زیر را داریم.

نتیجه ۱۵(نابرابری مقدار میانی): فرش کنید $a\subseteq E$ مجموعه باز باشد، و $f:A\to F$ تابع بطور پیوسته مشتق پذیر و $x,y\in A$. اگر پاره خط بین$x$ و $y$ (یعنی $tx+(t-1)y$، $۰\le t\le 1$) در $A$ قرار داشته باشد.آنگاه \begin{equation*} |f(y)-f(x)| \le |y-x| \sup_u |f’(u)|, \end{equation*} که سوپریمم روی تمام $u=tx+(t-1)y$ که $۰\le t\le 1$ گرفته می شود. اگر $z\in A$، آنگاه \begin{equation*} |f(y)-f(x)-f’(z)(y-x)| \le |y-x| \sup_u |f’(u)-f’(z)|, \end{equation*} که سوپریمم همانند بالا می باشد

اثبات: داریم \begin{align*} |f(y)-f(x)| &= \left\vert \int_0^1 f’(x+t(y-x))(y-x)\,dt \right\vert \\ &\le |y-x|(1-0)\sup_{t\in[0,1]} |f’(x+t(y-x))|, \end{align*} که قسمت اول اثبات می شود. حال این نتیجه را بر روی نگاشت تعریف شده بصورت $g(v)=f(v)-f’(z)v$ بکار می بریم و قسمت دوم حکم اثبات می شود. $\square$

نتیجه ۱۶(تخمین لیپ شوتس برای نگاشت های $C^1$): فرض کنیم $A\subseteq E$ مجموعه باز محدب باشد و $f:A\to F$ تابع بطور پیوسته مشتق پذیر. اگر ثابت $M$ وجود داشته باشد بطوریکه برای تمام $x\in A$ها داشته باشیم $|f’(x)| \le M$، آنگاه برای تمام $x,y\in A$ داریم \begin{equation*} |f(x)-f(y)| \le M|x-y| \end{equation*}

حال می توانیم لم ۹ را توسیع دهیم

نتیجه ۱۷: فرض کنید $A\subseteq E$ یک مجموعه باز همبند و مشتق $f:A\to F$ روی $A$ ناصفر باشد. آنگاه $f$ تابع ثابت می باشد.

اثبات: اگر $x\in A$ و $B_r(x)$ گوی باز حول $x$ باشد در $A$ قرار دارد. با استفاده از نتیجه ۱۶ می توان نشان داد که $f$ روی $B_r(x)$ ثابت می باشد و چون $A$ همبند می باشد، لذا $f$ روی $A$ ثابت می باشد. $\square$

در قسمت بعد مشتقات از مرتبه بالا تر مورد بحث قرار خواهد گرفت.

ادامه دارد

پاورقی[+]

مدیریت وب‌سایت

کسی که هندسه نمی‌داند ، از این در وارد نشود. " کتیبه‌ی سر در آکادمی افلاطون "

نوشته‌های مرتبط

قوانین ارسال دیدگاه

  • دیدگاه های فینگلیش تایید نخواهند شد.
  • دیدگاه های نامرتبط به مطلب تایید نخواهد شد.
  • از درج دیدگاه های تکراری پرهیز نمایید.
دیدگاه‌ها