پیش نمایش خلاصه $\sigma$-جبرها

بخش اول $\sigma$-جبرها

تعریف :

یک جبر روی $X$ گردایه ناتهی $\algg$ از زیرمجموعه های $X$ می باشد بطوریکه تحت اجتماع متناهی و متمم بسته باشد. جبر $\algg$ را $\gs$-جبر خوانیم هرگاه تحت اجتماع شمارا بسته باشد

تعریف :

فرض کنیم $\alge$ زیرمجموعه ای از $X$ باشد، $\algm(\alge)$ را اشتراک تمام $\gs$-جبرهای شامل $\alge$ تعریف می کنیم و $\gs$-جبر تولید شده توسط $\alge$ خوانیم

لم :

اگر $\alge\sci\algm(\algf)$ باشد، آنگاه $\algm(\alge)\sci\algm(\algf)$می باشد

تعریف :

فرض کنیم $(X,\cal T)$ فضای توپولوژیک باشد. $\gs$-جبر تولید شده توسط $\cal T$ را $\gs$-جبر بورل روی $X$ خوانیم. و با $\brl_X$ نمایش می دهیم و عناصر $\brl_X$ را مجموعه های بورل خوانیم.
اشتراک شمارایی از مجموعه های باز را یک $G_{\delta}$ مجموعه خوانیم. اجتماع شمارایی از $G_{\delta}$ مجموعه ها را با $G_{\delta\gs}$ نمایش می دهیم
اجتماع شمارایی از مجموعه های بسته را یک $F_\gs$ مجموعه خوانیم. اشتراک شمارایی از $F_{\gs}$ مجموعه ها را با $f_{\gs\delta}$ نمایش می دهیم.

گزاره :

$\brl_\rea$ توسط هریک از مجموعه های زیر تولید می شود.

($i$)    بازه های باز : $\alge_1=\setwm{(a,b)}{a< b}$.
($ii$)    بازه های بسته : $\alge_2=\setwm{[a,b]}{a< b}$.
($iii$)    بازه های نیم باز: $\alge_3=\setwm{(a,b]}{a< b}$ یا $\alge_4=\setwm{[a,b)}{a< b}$.
($iv$)    مسیرهای باز : $\alge_5=\setwm{(a,\infty)}{a\in\rea}$ و یا $\alge_6=\setwm{(-\infty,a)}{a\in\rea}$
($v$)    مسیرهای بسته : $\alge_7=\setwm{[a,\infty)}{a\in\rea}$ و یا $\alge_8=\setwm{(-\infty,a]}{a\in\rea}$.

تعریف :

فرض کنیم $\set{X_\alpha}_{\alpha\in A}$ خانواده ای از مجموعه های ناتهی باشد، $\displaystyle X=\prod_{\alpha\in A}X_\alpha$، $\pi_\alpha:X\to X_\alpha$ نگاشت مخصات باشد. اگر برای هر $\alpha\in A$، $\algm_\alpha$، $\gs$-جبر روی $X_\alpha$ باشد، $\gs$-جبر حاصاضربی روی $X$ را $\gs$-جبر تولید شده توسط
\begin{eqnarray*}
\setwm{\pi_\alpha^{-1}(E_\alpha)}{E_\alpha\in\algm_\alpha\ , \ \alpha\in A}
\end{eqnarray*}
تعریف می کنیم و با $\bigotimes_{\alpha\in A}\algm_\alpha$ نمایش می دهیم.

گزاره :

اگر $A$ شمارا باشد آنگاه $\bigotimes_{\alpha\in A}\algm_\alpha$ $\gs$-جبر تولید شده توسط مجموعه
\begin{eqnarray*}
\setwm{\prod_{\alpha\in A}E_\alpha}{E_\alpha\in\algm_\alpha}
\end{eqnarray*}
می باشد.

گزاره :

فرض کنیم برای هر $\alpha\in A$، $\algm_\alpha $ بوسیله $\alge_\alpha$ تولید شود. آنگاه $\bigotimes_{\alpha\in A}\algm_\alpha$ $\gs$-جبر تولید شده توسط مجموعه
\begin{eqnarray*}
\algf_1=\setwm{\pi_\alpha^{-1}(E_\alpha)}{E_\alpha\in\alge_\alpha\ , \ \alpha\in A}
\end{eqnarray*}
می باشد.
اگر $A$ شمارا باشد و برای هر $\alpha\in A$، $X_\alpha\in\alge_\alpha $ باشد آنگاه $\bigotimes_{\alpha\in A}\algm_\alpha$ $\gs$-جبر تولید شده توسط مجموعه
\begin{eqnarray*}
\algf_2=\setwm{\prod_{\alpha\in A}E_\alpha}{E_\alpha\in\alge_\alpha}
\end{eqnarray*}
می باشد.

گزاره :

اگر $X_1,\cdots,X_n$ فضاهای متریک و $X=\prod_1^n X_j$ با توپولوژی حاصلضربی باشند، آنگاه $\bigotimes_1^n\brl_{X_j}\sci \brl_X$ می باشد و $X_j$ها تفکیک پذیر باشند، آنگاه $\bigotimes_1^n\brl_{X_j}= \brl_X$ می باشد.

نتیجه :

$\brl_{\rea^n}=\bigotimes_1^n\brl_{\rea}$

تعریف :

برای مجموعه مفروض $X$، زیرمجموعه $\alge\sci 2^X$ را خانواده مقدماتی خوانیم هرگاه

($i$)    $\emptyset\in\alge$
($ii$)    $E,F\in\alge$ آنگاه $E\cap F\in\alge$
($iii$)    $E\in\alge$ آنگاه $E^c$ بصورت اجتماع متناهی مجزای از اعضای $\alge$ می باشد.

گزاره :

اگر $\alge$ خانواده مقدماتی از $X$ باشد آنگاه گردایه اجتماع متناهی مجزای از عناصر $\alge$ یک جبر می باشد.

Post a comment

سوال دارین؟ بپرسین:

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *

Feedback