پیش نمایش تمرینات $\sigma$-جبرها

($۱$)  خانواده $\ring$ از زیرمجموعه‌های $P(X)$ یک حلقه نامیده می شود اگر تحت اجتماع متناهی و تفاضل بسته باشد (یعنی اگر $E_1,\cdots,E_n\in\ring$ آنگاه $\cup_{j=1}^nE_j\in\ring$ و اگر $E,F\in\ring$ آنگاه $E\setminus F\in \ring$). حلقه‌ای که تحت اجتماع شمارا بسته باشد $\gs$-حلقه نامیده می شود.

($i$)    حلقه‌ها (به ترتیب، $\gs$-حلقه‌ها) تحت اشتراک متناهی (به ترتیب، شمارا) بسته‌اند.

فرض کنیم $\ring$ حلقه باشد. و $E,F\in\ring$ بنابر خواص حلقه داریم
\begin{eqnarray*}
E\setminus(E\setminus F)&=&E\setminus(E\cap F^c)\\
&=&E\cap(E^c\cup F)\\
&=&E\cap F
\end{eqnarray*}
در نتیجه برای هر $E,F\in\ring$ داریم $E\cap F\in\ring$. لذا هر حلقه تحت اشتراک متناهی بسته می باشد.
حال فرض کنیم $\ring$ یک $\gs$-حلقه باشد و $(E_j)\in\ring^\nat$ قرار می دهیم $A=\cup_j E_j$ و $G_n=A\setminus E_n$. پس برای هر $n\in\nat$ داریم $G_n\in\ring$ و همچنین $F=E_1\setminus\cup_{j=2}^\infty G_n$ در $\ring$ قرار دارد. از طرفی
\begin{eqnarray*}
F=&E_1\setminus\cup_{j=2}^\infty G_n\\
=&E_1\bigcap\para{\bigcap_{j=2}^{\infty}G_j^c}\\
=&E_1\para{\bigcap_{j=2}^{\infty}(A^c\bigcup E_j)}\\
=&\bigcap_{j=2}^{\infty}\para{(E_1\bigcap A^c)\bigcup(E_1\bigcap E_j)}\\
=&\bigcap_{j=2}^{\infty}\para{E_1\bigcap E_j}\\
=&\bigcap_{j=1}^{\infty}E_j
\end{eqnarray*}
و لذا $\ring$ نسبت به اشتراک شمارا بسته می باشد.
($ii$)    اگر $\ring$ یک حلقه( بترتیب $\gs$-حلقه)‌ باشد، آنگاه $\ring$ یک جبر (بترتیب $\gs$-جبر) می باشد اگروتنها اگر $X\in\ring$.

اگر $\ring$ یک حلقه (بترتیب $\gs$-حلقه) باشد و $X\in\ring$، برای هر $E\in\ring$ داریم $E^c=X\setminus E\in\ring$ و در نتیجه $\ring$ نسبت به متمم بسته می باشد و لذا یک جبر (بترتیب $\gs$-جبر) می باشد.
وبرعکس فرض کنیم $\ring$ یک جبر (بترتیب $\gs$-جبر) باشد چون ناتهی می باشد پس $E\in\ring$ وجود دارد و لذا $E\cup E^c=x\in\ring$.
($iii$)    اگر $\ring$ یک $\gs$حلقه‌ باشد، آنگاه $\setwm{E\sci X}{E\in\ring\ \mbox{or}\ E^c\in\ring}$ یک $\gs$-جبر می باشد.

فرض کنیم $\ring$ یک $\gs$-حلقه ناتهی و ${\cal M}=\setwm{E\sci X}{E\in\ring\ \mbox{or}\ E^c\in\ring}$. واضح است $\cal M$ نسبت به متمم بسته می باشد. فرض کنیم $(E_j)\in {\cal M}^\nat$. بنابر تعریف $\cal M$ عناصر دنباله $(E_j)$ را به دو مجموعه ${\cal K}=\setwm{Ej}{E_j\in\ring}$ و ${\cal L}=\setwm{Ej}{E_j^c\in\ring}$ افراز می کنیم و قرار می دهیم $\displaystyle A=\bigcap_{E_j\in{\cal L}}E_j^c\in\ring$ و $\displaystyle B=\bigcup_{E_j\in{\cal K}}E_j\in\ring$ حال داریم
\begin{eqnarray*}
\bigcup_j E_j &=& \para{\bigcup_{E_j\in {\cal L}}E_j}\bigcup \para{\bigcup_{E_j\in{\cal K}}E_j}\\
&=& \para{\para{\bigcap_{E_j\in {\cal L}}E_j^c}\bigcap\para{\bigcup_{E_j\in{\cal K}}E_j}^c}^c\\
&=& \para{A\setminus B}^c
\end{eqnarray*}
چون $A,B\in\ring$ و $\ring$ نسبت به تفریق بسته می باشد لذا $A\setminus B\in\ring$ و در نتیجه $(A\setminus B)^c\in{\cal M}$. بنابراین $\cal M$ نسبت به اجتماع شمارا نیز بسته بوده و در نتیجه $\cal M$ $\gs$-جبر می باشد.
($iv$)    اگر $\ring$ یک $\gs$-حلقه‌ باشد، آنگاه $\setwm{E\sci X}{E\cap F\in\ring\ \mbox{for all}\ F\in\ring}$ یک $\gs$-جبر می باشد.

فرض کنیم $\ring$ یک $\gs$-حلقه و $\algg=\setwm{E\sci X}{E\cap F\in\ring\ \mbox{for all}\ F\in\ring}$، $E\in\algg$ و $F\in\ring$ باشد. بنابر تعریف $\algg$، $E\setminus F\in\ring$ و چون $\ring$ نسبت به تفریق بسته می باشد لذا
\begin{eqnarray*}
E^c\cap F&=&F\setminus E\\
&=&F\setminus(E\cap F)\in\ring
\end{eqnarray*}
بنابراین $\algg$ نسبت به متمم بسته می باشد. از طرفی اگر $(E_j)\in\algg^\nat$ و $F\in\ring$ باشد آنگاه برای هر $n\in\nat$ داریم $E_n\cap F\in\ring$. در نتیجه $(\cup E_j)\cap F=\cup(E_j\cap F)\in\ring$ برای هر $n\in\nat$ برقرار می باشد. ولذا $\algg$ نسبت به اجتماع شمارا بسته می باشد. و $\algg$ یک $\gs$-جبر می باشد.

($۲$)  برهان قضیه $۱-۲$ را کامل کنید.

برای اثبات اینکه مجموعه های ${\cal E}_j$، $j=1,\cdots,8$ مولدهای جبر بورل روی $\rea$، $\brl_\rea$ می باشند باید برای هر $j=1,\cdots,8$ داشته باشیم $\algm(\alge_j)\sci \brl_\rea$ و $\brl_\rea\sci\algm(\alge_j) $.
واضح است که عناصر هر کدام از ${\cal E}_j$، $j=1,\cdots,8$ مجموعه بورل هستند
\begin{eqnarray*}
(a,b)&=&(a,b)\in\brl_\rea\\
[a,b]&=&\bigcap_{n=1}^\infty(a-n^{-1},b+n^{-1})\in\brl_\rea\\
(a,b]&=&\bigcap_{n=1}^\infty(a,b+n^{-1})\in\brl_\rea\\
[a,b)&=&\bigcap_{n=1}^\infty(a-n^{-1},b)\in\brl_\rea\\
(a,\infty)&=&\bigcup_{n=1}^\infty(a,n)\in\brl_\rea\\
(-\infty,a)&=&\bigcup_{n=1}^\infty(-n,a)\in\brl_\rea\\
[a,\infty)&=&[a,a+1]\bigcup (a+1,\infty)\\
&=&\para{\bigcap_{n=1}^\infty(a-n^{-1},a+1+n^{-1})}\\
& &\bigcup\para{\bigcup_{n=1}^\infty(a+1,n)}\in\brl_\rea\\
(-\infty,a]&=&(-\infty,a-1)\bigcup[a-1,a]\\
&=&\para{\bigcup_{n=1}^\infty(-n,a-1)}\bigcup\\
& &\para{\bigcap_{n=1}^\infty(a-1-n^{-1},a+n^{-1})}
\end{eqnarray*}
و در نتیجه برای هر $j=1,\cdots,8$ داریم $\algm(\alge_j)\sci \brl_\rea$.
و با استفاده از تساوی های زیر
\begin{eqnarray*}
(a,b)&=&(a,b) \in\algm({\alge_1})\\
(a,b)&=& \bigcup_{n=1}^\infty[a+n^{-1},b-n^{-1}]\in\algm({\alge_2})\\
(a,b)&=& \bigcup_{n=1}^\infty(a,b-n^{-1}]\in\algm({\alge_3})\\
(a,b)&=& \bigcup_{n=1}^\infty[a+n^{-1},b)\in\algm({\alge_4})\\
(a,b)&=&(a,\infty)\bigcap(-\infty,b)\\
&=&(a,\infty)\bigcap[b,\infty)^c\\
&=&(a,\infty)\bigcap\\
& &(\bigcap_{n=1}^\infty(b-n^{-1},\infty))^c \in\algm({\alge_5})\\
(a,b)&=&(a,\infty)\bigcap(-\infty,b)\\
&=&(\infty,a]^c\bigcap(-\infty,b)\\
&=&(\bigcap_{n=1}^\infty(-\infty,a+n^{-1}))^c\\
& &\bigcap(-\infty,b) \in\algm({\alge_6})\\
(a,b)&=&(a,\infty)\bigcap(-\infty,b)\\
&=&\para{\bigcup_{n=1}^\infty[a+n^{-1},\infty)}\\
& &\bigcap[b,\infty)^c \in\algm({\alge_7})\\
(a,b)&=&(a,\infty)\bigcap(-\infty,b)\\
&=&(-\infty,a]^c\bigcap\\
& &\para{\bigcup_{n=1}^\infty(-\infty,b-n^{-1}]} \in\algm({\alge_8})
\end{eqnarray*}
برای هر $j=1,\cdots,8$ داریم $\brl_\rea\sci\algm(\alge_j)$.

($۳$)  فرض کنید $\cal M$ یک $\gs$-جبر نامتناهی باشد

($i$)    $\cal M$ شامل یک دنباله نامتناهی از مجموعه‌های غیرتهی مجزا است.
($ii$)    $card({\cal M})\ge {\frak c}$

فرض کنیم $\algm$ یک $\gs$-جبر نامتناهی روی $X$ باشد. عضو $A\in\algm$ را مجموعه شکافنده خوانیم هرگاه مجموعه
\begin{eqnarray*}
\algf_A=\setwm{A\cap B}{B\in\algm}
\end{eqnarray*}
نامتناهی باشد. بعبارت دیگر یعنی $A$ دارای تعداد نامتناهی تکه در $\algm$ باشد. یعنی مجموعه
\begin{eqnarray*}
\algf_A=\setwm{B}{B\sci A\ , \ B\in\algm}
\end{eqnarray*}
نامتناهی باشد.
نکته اول اینکه اگر $\algm$ نامتناهی باشد ادعا می کنیم $\algm$ دارای مجموعه شکافنده می باشد. در واقع چون $X\in\algm$ پس
\begin{eqnarray*}
\algf_X=\setwm{B}{B\sci X\ ,\ B\in\algm}=\algm
\end{eqnarray*}
بنابر فرض نامتناهی می باشد پس $X$ خود یک مجموعه شکافنده می باشد.
حال فرش کنیم $A$ یک شکافنده در $\algm$ باشد. ادعا می کنیم $A=B\cup C$ و $B\cap C=\emptyset$، بطوریکه یکی از مجموعه های $B$ یا $C$ شکافنده می باشد.
چون $A$ شکافنده می باشد لذا ${\cal F}_A$ نامتناهی بوده و شامل عضوی مانند $B$ می باشد بطوریکه $\emptyset\sci B\sci A$. و داریم
\begin{eqnarray*}
A=(A\setminus B)\sqcup B\\
A\setminus B\in\algm\ , \ B\in\algm
\end{eqnarray*}
(اجتماع مجموعه های مجزا را با نماد $\sqcup$ نمایش میدهند.) حال چون $A$ شکافنده می باشد و اجتماع مجزای دو مجموعه $B$، $A\setminus B$ می باشد پس لااقل یکی از مجموعه های $\algf_{A\setminus B}$، $\algf_B$ نامتناهی می باشد و لذا یکی از دو مجموعه $B$، $A\setminus B$ شکافنده می باشد.
خوب تا اینجا ما ثابت کردیم که اگر $\algm$ نامتناهی باشد آنگاه دارای مجموعه شکافنده می باشد و همچنین نشان دادیم که هر مجموعه شکافنده دارای زیرمجموعه حقیقی می باشد که خود شکافنده می باشد. حال شروع به ساختن دنباله نامتناهی مجزای از عناصر $\algm$ می کنیم.
چون $\algm$ نامتناهی می باشد پس $X$ شکافنده می باشد. قرار می دهیم $A_0=X$. چون $A_0$ شکافنده می باشد پس دارای زیرمجموعه حقیقی شکافنده مانند $A_1$ می باشد. به همین ترتیب دنباله نزولی از عناصر $\algm$ به دست می آید بطوریکه $X=A_0\sci A_1 \sci A_2\sci A_3\sci\cdots$.
حال دنباله $(B_j)\in\algm^\nat$ را بصورت $B_j=A_j\setminus A_{j+1}$.
به وضوح دنباله $(B_j)$ مجزا می باشد.
و اثبات تمام شد.!!!!!
برای اثبات $card({\cal M})\ge {\frak c}$ از همین دنباله استفاده می کنیم. برای هر زیرمجموعه $E\sci\nat$ قرار می دهیم $\displaystyle A_E=\bigcup_{j\in E}B_j\in\algm$. پس برای هر دو زیرمجموعه $E,F\sci\nat$ که $E\cap F=\emptyset$ داریم $A_E\cap A_F=\emptyset$. در نتیجه $\setwm{A_E}{E\sci \nat}$ مجموعه متمایز از عناصر $\algm$ می باشد. و چون $card({2^\nat})= {\frak c}$ لذا $card({\cal M})\ge {\frak c}$.

($۴$)  جبر $\algg$ یک $\gs$-جبر است اگروتنهااگر $\algg$ تحت اجتماع افزایشی شمارا بسته باشد (یعنی اگر $(E_j)\in\algg^\nat$ و $E_1\sci E_2\sci\cdots$، آنگاه $\cup_{j=1}^\infty E_j\in\algg$).

فرض کنیم جبر $\algg$ در شرط مسئله صدق کند و $(F_j)\in\algg^\nat$ دنباله دلخواهی باشد تعریف می کنیم
\begin{eqnarray*}
E_j=\bigcup_{i=1}^j F_i\\
\end{eqnarray*}
واضح است که $\bigcup_j E_j=\bigcup_j F_j$ و $F_j$ صعودی می باشد و برای هر $j\in\nat$، $E_j\in \algg$. درنتیجه بنابر فرض $\bigcup_j E_j\in\algg$. عکس مسئله واضح می باشد.

($۵$)  اگر $\cal M$، $\gs$-جبر تولید شده توسط $\cal E$ باشد، آنگاه $\cal M$ اجتماع $\gs$-جبر‌های تولید شده توسط $\cal F$ روی مجموعه‌های شمارای $\cal E$ تغییر می کند. (راهنمایی نشان دهید اجتماع مطرح شده یک $\gs$-جبر است)

فرض کنیم $\displaystyle\algm’=\bigcup_{\begin{subarray}{l}\algf\sci\alge\\countable\end{subarray}}\algm(\algf)$ نشان می دهیم $\algm’$، $\gs$-جبر می باشد. فرض کنیم $(E_j)\in\algm’$، در نتیجه برای هر $j\in\nat$، $\algf_j\sci\alge$ وجود دارید بطوریکه $E_j\in\algm(\algf_j)$. بنابراین $\algf=\bigcup \algf_j$ زیرمجموعه شمارا از $\alge$ می باشد بطوریکه برای هر $j\in\nat$ داریم $\algf_j\sci \algf$ و در نتیجه $\algm(\algf_j)\sci\algm(\algf)$ و $E_j\in\algm(\algf_j)\sci\algm(\algf)$ و چون $\algm(\algf)$، $\gs$-جبر می باشد لذا $\bigcup E_j\in\algm(\algf)$ و چون $\algf$ شمارا می باشد لذا $\algm(\algf)\sci\algm’$ و $\bigcup E_j\in\algm’$.
واضح است که $\algm’$ نسبت به متمم نیز بسته می باشد و $X\in \algm’$. پس $\algm’$، $\gs$-جبر می باشد.
برای هر $\algf\sci\alge$ بوضوح $\algm(\algf)\sci\algm(\alge)$. پس $\algm’\sci\algm(\alge)$. برعکس برای هر $E\in\alge$، $E\in\algm(\set{E})$ و $\set{E}$ شمارا می باشد لذا $E\in\algm(\set{E})\sci\algm’$. در نتیجه $\alge\sci\algm’$ و $\algm(\alge)\sci\algm’$.
2 Comments
جمع کردن دیدگاه‌ها
مهدی صادقیان دی 12, 1400 at 5:57 ب.ظ

سلام بخش ۲ کتاب رو کی مسزارید ترم تموم شد؟

مهدی صادقیان دی 12, 1400 at 5:58 ب.ظ

سلام بخش ۲ کتاب رو کی میزارید ترم تموم شد؟

سوال دارین؟ بپرسین:

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *

Feedback