جبر

تعاریف:


فرض کنیم $X$ مجموعه‌ای ناتهی باشد، $\algg\ci 2^X$ (1)مجموعه تمام توابع از $X$ به $Y$ را با $Y^X$ نمایش می‌دهیم و منظور از $۲^X$ مجموعه $\set{0,1}^X$، … Continue reading را یک نیم جبر روی $X$ خوانیم هرگاه

($i$)    $\emptyset, X\in \algg$
($ii$)    $A,B\in\algg\to A\cap B\in\algg$
($iii$)    برای هر دو عضو $A,B\in\algg$، مجموعه‌های مجزای (2)گردایه $(A_i)_{i\in I}\ci 2^X$ را مجزا خوانیم هرگاه برای هر $i,j\in I$ که $i\ne j$ داشته باشیم $A_i\cap … Continue reading $C_1,\cdots,C_n\in \algg$ موجود باشد بطوریکه $ B\setminus A=\bigcup_{j=1}^{n}C_j$

فرض کنیم $X$ مجموعه‌ای ناتهی باشد. ${\cal A}\subset 2^X$ را یک جبر روی $X$ خوانیم هرگاه

($i$)   $\emptyset, X\in{\cal A}$
($ii$)   $A,B\in{\cal A}\to B\cup A\in{\cal A}$
($iii$)   $A,B\in{\cal A}\to B\setminus A\in{\cal A}$

جبر $\algg$ را $\gs$-جبر خوانیم هرگاه داشته باشیم

\begin{eqnarray*}
(A_j)\in\algg^{\nat}\to\bigcup_{j\in\nat}A_j\in\algg
\end{eqnarray*}

نکات :


فرض کنیم $X$ مجموعه‌ای ناتهی باشد، $\algg\ci 2^X$ را جبر روی $X$ خوانیم هرگاه

($i$)    $X\in \algg$
($ii$)    $A\in \algg\to A^c\in \algg$
($iii$)    $A,B\in\algg\to B\cup A\in\algg$

بجای شرط ($i$) میتوان فرض کرد $\algg\ne\emptyset$. به آسانی می‌توان بررسی کرد که این تعریف جبر هم‌ ارز تعریف مطرح شده در بالا می‌باشد.


فرض کنیم $X$ مجموعه‌ای ناتهی باشد، $\algg\ci 2^X$ را $\gs$-جبر روی $X$ خوانیم هرگاه

($i$)    $X\in \algg$
($ii$)    $A\in \algg\to A^c\in \algg$
($iii$) $\displaystyle(A_j)\in\algg^{\nat}\to\bigcup_{j\in\nat}A_j\in\algg$

بجای شرط ($i$) میتوان فرض کرد $\algg\ne\emptyset$. به آسانی می‌توان بررسی کرد که این تعریف $\gs$-جبر هم‌ ارز تعریف مطرح شده در بالا می‌باشد.


برای هر دنباله $(A_j)\in\algg^{\nat}$، می‌توان دنباله مجزای $(B_j)\in\algg^{\nat}$ را چنان تعریف کرد که $\displaystyle\bigcup_{j\in\nat}A_j=\displaystyle\bigcup_{j\in\nat}B_j$.

قرار می‌دهیم
\begin{eqnarray*}
B_j:=A_j\setminus\left( \bigcup_{1}^{j-1}A_i\right)=A_j\bigcap\left( \bigcup_{1}^{j-1}A_i \right)^c
\end{eqnarray*}

در نتیجه اگر $\algg$ یک جبر باشد و برای هر دنباله مجزا از عناصر $\algg$ مانند $(A_j)\in\algg^{\nat}$ داشته باشیم $\displaystyle\bigcup_{j\in\nat}A_j\in\algg$، آنگاه $\algg$ یک $\gs$-جبر می‌باشد.


اگر $\algg$ یک جبر باشد و برای هر دنباله صعودی (3) دنباله $\displaystyle(A_j)\in\algg^{\nat}$ را دنباله صعودی خوانیم هرگاه $A_1\subset A_2\subset A_3\cdots $ از عناصر $\algg$ مانند $(A_j)\in\algg^{\nat}$ داشته باشیم $\displaystyle\bigcup_{j\in\nat}A_j\in\algg$، آنگاه $\algg$ یک $\gs$-جبر می‌باشد.

فرض کنیم $X,Y$ مجموعه ای ناتهی باشد و $f\in Y^X$. همچنین $\cal A$ و$\cal B$ به ترتیب $\gs$-جبر روی $X$ و$Y$ باشند.آنگاه
\begin{eqnarray*}
f^{-1}({\cal B}):=\setwm{f^{-1}(B)\sci X}{B\in{\cal B}}
\end{eqnarray*}
و
\begin{eqnarray*}
f_{*}({\cal \algg}):=\setwm{B\sci Y}{f^{-1}(B)\in\algg}
\end{eqnarray*}
بترتیب $\gs$-جبر روی $X$ و$Y$ می‌باشند. $f^{-1}({\cal B})$ را تصویر معکوس ${\cal B}$ تحت $f$ و $f_{*}({\cal \algg})$ را تصویر ${\algg}$ تحت $f$ می‌نامند.

اگر $A$ یک $\gs$-جبر روی $X$ باشد و $Y\subset X$ آنگاه
\begin{eqnarray*}
\setwm{A\cap Y}{A\in\algg}
\end{eqnarray*}
یک $\gs$-جبر روی $Y$ می‌باشد.

فرض کنیم $\algg$ یک نیم جبر روی مجموعه ناتهی $X$ باشد، آنگاه
\begin{eqnarray*}
\alpha(\algg)=\setwm{\bigcup_{j=1}^{n}A_j }{n\in\nat\ ,\ A_j\in \algg}
\end{eqnarray*}
کوچکترین جبر شامل $\algg$ می‌باشد.

فرض کنیم $\algg$ یک $\gs$-جبر نامتناهی باشد.

($i$)    $\algg$ شامل یک دنباله مجزا می‌باشد.
($ii$)    $\mbox{card}(\algg)\ge\mathfrak c$

فرض کنیم $(X,{\cal T})$ فضای توپولوژیک باشد. ${\cal T}$ یک $\gs$-جبر می‌باشد اگروتنهااگر ${\cal T}=2^X$. بعبارت دیگر ${\cal T}$ یک $\gs$-جبر می‌باشد اگروتنهااگر توپولوژی ${\cal T}$ روی $X$ گسسته باشد.

پاورقی[+]

Feedback