$\sigma$-جبر تولید شده توسط ${\cal F}$

تعریف :

فرض کنیم $X$ مجموعه‌ای ناتهی باشد. زیرمجموعه ناتهی ${\cal F}\subset X$ را در نظر می گیریم $\gs$-جبر تولید شده توسط ${\cal F}$ را اشتراک تمام $\gs$-جبر شامل ${\cal F}$ تعریف می کنیم و با نماد $\gs({\cal F})$ نمایش می دهیم. بعبارت دیگر 
\begin{eqnarray*}
\gs({\cal F})=\bigcap_{{\cal F}\subset \algg}\algg
\end{eqnarray*}

نکات :

($I$)    بوضوح همواره $\gs$-جبر شامل ${\cal F}$ موجود می باشد ($۲^X$)
($II$)    اثبات اینکه $\gs({\cal F})$ کوچکترین $\gs$-جبر شامل ${\cal F}$ شامل ${\cal F}$ می باشد سرراست می باشد
($III$)    از طرفی $\gs({\cal F})$ منحصربفرد می باشد
($IV$)    با توجه به تعریف $\gs$-جبر واضح هست که $\gs({\cal F})=\gs({\cal F}^c)$
($V$)   اگر ${\cal F}$ شمارا نامتناهی باشد، آنگاه $\gs({\cal F})$ ناشمارا می باشد.  
($VI$)    میتوان به همین ترتیب جبر تولید شده توسط زیرمجموعه ناتهی ${\cal F}\subset X$ را اشتراک تمام جبرهای شامل ${\cal F}$ تعریف کرد. جبر تولید شده توسط زیرمجموعه ناتهی ${\cal F}\subset X$ را با $\alpha({\cal F})$ نمایش می دهیم
($VII$)    برای گردایه ای از زیر مجموعه های $X$ مانند ${\cal F}$ ساختار جبر تولید شده توسط ${\cal F}$ را می توان به آسانی مشخص کرد.

مجموعه های ${\cal F}_1$ و ${\cal F}_2$ و ${\cal F}_3$ را بصورت زیر تعریف می کنیم
\begin{eqnarray*}
{\cal F}_1:=\setwm{A\ci X}{A\in X\quad \mbox{or}\quad A^c \in X}\\
{\cal F}_2:=\setwm{\cap_{i=1}^n A_i\ci X}{A_i\in {\cal F}_1}\\
{\cal F}_3:=\setwm{\cup_{i=1}^n A_i\ci X}{A_i\in {\cal F}_2}
\end{eqnarray*}
به وضوح $\alpha({\cal F})={\cal F}_3$
($VIII$)    
Feedback