حلقه

تعریف : فرض کنیم $X$ مجموعه‌ای ناتهی باشد. $\ring \subset 2^X$ را نیم حلقه خوانیم هرگاه  

($i$)    $\emptyset\in \ring $
($ii$)    $A,B\in\ring \to A\cap B\in\ring $
($iii$)    برای هر دو عضو $A,B\in\ring $، مجموعه‌های مجزای $c_1,\cdots,c_n\in \ring $ موجود باشد بطوریکه $ A\setminus B=\bigcup_{j=1}^{n}c_i$
تعریف :در نیم حلقه $\ring$ روی $X$، زیر مجموعه $A\subset X$ را $\gs$-مجموعه خوانیم هرگاه $A$ بصورت اجتماع شمارای مجزای از عناصر $\ring$ باشد. بعبارت دیگر

هرگاه $(A_j)\in \ring^\nat$ وجود داشته باشد بطوریکه $A=\cup_{j=1}^{\infty}A_j$ و برای هر $i,j$ که $i\ne j$ داشته باشیم $A_j\cap A_i=\emptyset$

فرض کنیم $X$ مجموعه‌ای ناتهی باشد. زیرمجموعه ناتهی $\ring \subset 2^X$ را یک حلقه خوانیم هرگاه

($i$)    $\emptyset\in \ring $
($ii$)   $A,B\in\ring \to A\cup B\in\ring $
($iii$)   $A,B\in\ring \to A\setminus B\in\ring $

حلقه $\ring $ را $\gs$-حلقه خوانیم، هرگاه
\begin{eqnarray*}
\displaystyle(A_j)\in\ring ^{\nat}\to\bigcup_{j\in\nat}A_j\in\ring
\end{eqnarray*}

نکات :


واضح است اگر در نیم حلقه $\ring $، $X\in \ring $ باشد، $\ring $ یک نیم جبر می‌باشد. و هر نیم جبر، یک نیم حلقه نیز می‌باشد.

واضح است اگر در حلقه $\ring $، $X\in \ring $ باشد، $\ring $ یک جبر می‌باشد. و هر جبر، یک حلقه نیز می‌باشد. بهمبن ترتیب هر $\gs$-حلقه شامل $X$ یک $\gs$-جبر می‌باشد

برای هر $A,B\in\ring $ از حلقه $\ring $ داریم $A\cap B=A\setminus(A\setminus B )$، لذا هر حلقه یک نیم حلقه بوده و تحت اشتراک متناهی بسته می‌باشد

فرض کنیم $\ring$ نیم حلقه باشد، آنگاه
\begin{eqnarray*}
\algg=\setwm{\bigcup_{j=1}^{n} A_j}{n\in\nat\ , \ A_j\in\ring\ ,\ (i\ne j\to A_i\cap A_j=\emptyset) }
\end{eqnarray*}
یک حلقه می باشد.

اگر $\ring $ یک $\gs$-حلقه باشد آنگاه
\begin{eqnarray*}
\setwm{A\subset X}{A\in\ring \quad \mbox{or}\quad A^c\in \ring }
\end{eqnarray*}
یک $\gs$-جبر می‌باشد.

اگر $\ring $ یک $\gs$-حلقه باشد آنگاه
\begin{eqnarray*}
\setwm{A\subset X}{A\cap B\in\ring \quad \mbox{for all}\quad B\in\ring }
\end{eqnarray*}
یک $\gs$-جبر می‌باشد.

فرض کنیم $\ring $ یک نیم حلقه روی $X$ باشد. اگر $\displaystyle \bigcap_{A\in\ring }A=X $ باشد آنگاه $\ring $ یک پایه توپولوژی (1)فضای توپولوژیک $(X,{\cal T})$ را در نظر می‌گیریم، زیر مجموعه ${\cal B}\subset {\cal T}\subset 2^X$ را یک  … Continue reading روی $X$ می‌باشد.

فرض کنیم $\ring $ یک نیم حلقه روی $X$ و $Y\ci X$ باشد، آنگاه $\ring _Y=\setwm{A\cap Y}{A\in \ring }$ یک نیم حلقه روی $Y$ می‌باشد.

پاورقی[+]

Post a comment

سوال دارین؟ بپرسین:

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *

Feedback