تعریف معادلات دیفرانسیل جداشدنی

تعریف: اگه معادله دیفرانسیل مرتبه اول رو بتونیم بصورت
\begin{align*}\label{separt}
\color{red}{\Large{M(x)\rd x+N(y)\rd y=0}}\\
\qquad \qquad \\
\color{red}{\Large{\frac{\rd y}{\rd x}=y’=\frac{f(x)}{g(y)}}}
\end{align*}
بنویسیم، که $M(x),f(x)$ و تابعی از $x$ و $N(y),g(y)$ و تابعی از $y$ می باشد، معادله را جداشدنی نامیم.

برای حل معادله دیفرانسیل جداشدنی، سعی می کنیم معادله را بصورت
${M(x)\rd x+N(y)\rd y=0}$ در اوریم. حال کافیست از طرفین رابطه انتگرال بگیریم. یعنی داریم:
\begin{align*}
\color{red}{\Large{\int M(x)\rd x+\int N(y)\rd y=c}}
\end{align*}

مثال:
معادله $(x-4)y^4\rd x-x^3(y^2-3)\rd y=0$ یک معادله دیفرانسیل جداشدنی می باشد. زیرا می توان طرفین مساوی را به تابع
$(y^4)(x^3)$ تقسیم کرده و به معادله زیر رسید
\begin{align*}
\frac{x-4}{x^3}\rd x-\frac{y2-3}{y^4}\rd y=0
\end{align*}

مثال:
معادله دیفرانسیل زیر را حل کنید.
\begin{align*}
x \sin y \rd x + (x^2 + 1) \cos y \rd y = 0
\end{align*}
با تقسیم دو طرف معادله بر $\sin y (x^2+1)$ بدست می اید
\begin{align*}
\frac{x}{(x^2 + 1)}\rd x +\frac{\cos y}{(\sin y)} \rd y = 0
\end{align*}
و با انتگرال گیری داریم
\begin{align}
\int\frac{x}{(x^2 + 1)}\rd x +\int\frac{\cos y}{(\sin y)} \rd y = c_0
\end{align}
که $c_0$ ثابت دلخواه می باشد. از ریاضی عمومی می دانیم که
\begin{align*}
\int\frac{\rd u}{u} =\ln\abs{u}+B.
\end{align*}
بطوریکه $B$ ثابت اختیاری می باشد. و لذا با تغییر متغییر $u=x^2 + 1$ در اولین انتگرال و $u=\sin y$ در دومین انتگرال در انتگرالهای معادله شماره (۱) داریم
\begin{align*}
\int\frac{x}{(x^2 + 1)}\rd x=\frac{1}{2}\ln(x^2+1)+c_1
\end{align*}
و
\begin{align*}
\int\frac{\cos y}{(\sin y)} \rd y =\ln\abs{\sin y}+c_2
\end{align*}
و با جایگذاری در معادله شماره (۱)، معادله زیر بدست می آید.
\begin{align*}
\frac{1}{2}\ln(x^2+1)+\ln\abs{\sin y}&=c_0 =\ln\abs{c_1}\\
\ln(x^2+1)+2\ln\abs{\sin y}&=2\ln\abs{c_1}\\
\ln(x^2+1)+\ln(\sin y)^2&=\ln(c_1)^2\\
\ln(x^2+1)+\ln\sin^2 y&=\ln^2(c_1)=\ln c\\
\ln(x^2+1)\sin^2&=\ln c\\
(x^2+1)\sin^2&=c
\end{align*}

Post a comment

سوال دارین؟ بپرسین:

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *

Feedback