بررسی دقیق تر معادلات دیفرانسیل جداشدنی

نکته اول:
برای بررسی اینکه معادله دیفرانسیل جداشدنی می باشد یا نه، باید معادله را بفرم
\begin{equation*}
\color{red}{\large{y’= }}
\end{equation*}
بنویسیم. حال اگر طرف چپ مساوی تابعی باشد که بتونیم بصورت حاصلضرب دو تابع بر حسب $x$ و $y$ بنویسم نتیجه می شه که معادله جداشدنی هست. مثل تابع زیر
\begin{equation*}
y’\sin x=y\ln y\\
y’=\frac{y\ln y}{\sin x}
\end{equation*}
که بصورت حاصلضرب دو تابع $y\ln y$ و $\frac{1}{\sin x}$ می باشد که یکی بر حسب $x$ و یکی بر حسب $y$ می باشد. پس معادله جداشدنی است.
نکته دوم:
اگر معادله دیفرانیسل بفرم $y’=f(ax+by+c)$ باشد با تغییر متغیر $z=ax+by+c$ می توان معادله رو به معادله جداشدنی تبدیل کرد. در واقع داریم
\begin{equation*}
z=ax+by+c\\
z’=a+by’\longrightarrow y’=\frac{z’-a}{b}
\end{equation*}
باجایگذاری در معادله $y’=f(ax+by+c)$ خواهیم داشت
\begin{equation*}
\frac{z’-a}{b}=f(z)\longrightarrow z’=bf(z)+a
\end{equation*}
که سمت راست تساوی فقط تابعی از $z$ می باشد و لذا معادله جدا شدنی است. پس از حل معادله تغییر متغیر را جایگذاری می کنیم و جواب معادله اول را بدست می آوریم. بعنوان مثال معادله $y’=\cos(x+y)-1$ را بررسی می کنیم.
\begin{equation*}
z=x+y\longrightarrow y’=z’-1\\
z’=\cos(z)\\
z=\sin(z)+c\\
z=\sin(x+y)+c
\end{equation*}

نکته سوم:
اگر معادله دیفرانسیل بفرم
\begin{equation*}
y’=f\left({\frac{a_1x+b_1y+c_1}{a_2x+b_2y+c_2}}\right)
\end{equation*}
با شرط $a_1b_2=a_2b_1$ باشد، با تغییر متغییر $z=a_1x+b_1y$ به معادله جداشدنی تبدیل می شود. در واقع داریم
\begin{equation*}
a_1b_2=a_2b_1\ \Rightarrow\ \left\{ \begin{array}{l}
a_2=\frac{b_2}{b_1}a_1\\
b_2=\frac{a_2}{a_1}b_1\\
\frac{b_2}{b_1}=\frac{a_2}{a_1}
\end{array} \right.
\end{equation*}
با تغییر متغییر $z=a_1x+b_1y$ نتیجه می شود
\begin{equation*}
z’=a_1+b_1y’\ \Rightarrow\ y’=\frac{z’-a_1}{b_1}
\end{equation*}
لذا داریم

\begin{equation*}
y’=f\left({\frac{a_1x+b_1y+c_1}{a_2x+b_2y+c_2}}\right)\\
\frac{z’-a_1}{b_1}=f\left({\frac{z+c_1}{\frac{a_2}{a_1}z+c_2}}\right)\\
z’=b_1f\left({\frac{z+c_1}{\frac{a_2}{a_1}z+c_2}}\right)+a_1
\end{equation*}
که یک معادله جداشدنی می باشد و با انتگرال گیری جواب را بدست می آوریم و سپس با جایگذاری مقدار $z$ جواب معادله اصلی را بدست می آوریم.

Post a comment

سوال دارین؟ بپرسین:

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *

Feedback