روشی دیگر برای حل معادلات دیفرانسیل همگن

فرض کنیم معادله دیفرانسیل همگن بصورت $y’=f(x,y)$ باشد. با تغییر متغییر $\color{red}{{ \nu=\frac{y}{x}}}$ معادله به معادله جداشدنی زیر تبدیل می شود.
\begin{equation}\label{hamgen1}
\bbox[5px,border:2px solid green]{ \color{red}{\large{ \frac{\rd x}{x}=\frac{\rd \nu}{f(1,\nu)-\nu}}}}
\end{equation}

مثال ۱:
معادله $\frac{\rd y}{\rd x}=\frac{x+y}{x}$ را در نظر می گیریم. به وضوح معادله همگن می باشد. و $f(x,y)=\frac{x+y}{x}$ لذا بنابر فرمول $(\ref{hamgen1})$ داریم
\begin{eqnarray*}
f(1,\nu)-\nu=\frac{1+\nu}{1}-\nu=1\\
\frac{\rd x}{x}=\frac{\rd\nu}{1}\\
\end{eqnarray*}
حال که معادله به معادله جداشدنی تبدیل شده است با انتگرال گیری داریم
\begin{eqnarray*}
\int\frac{\rd x}{x}&=&\int\rd\nu\\
\ln x&=&v+c\\
\ln x&=&\frac{y}{x}+c\\
x\ln x&=&y+cx
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
\bbox[5px,border:2px solid red]{ y=x\ln x+cx}
\end{eqnarray*}

مثال ۲:
معادله دیفرانسیل $(x^2-y^2)\rd x+2xy\rd y=0$ را در نظر میگیریم
\begin{equation*}
y’=\frac{y^2-x^2}{2xy}
\end{equation*}
حال چون معادله همگن می باشد با استفاده از فرمول $(\ref{hamgen1})$ داریم
\begin{eqnarray*}
f(1,\nu)-\nu &=&\frac{\nu^2-1}{2\nu}-\nu\\
&=& -\frac{\nu^2+1}{2\nu}
\end{eqnarray*}
پس داریم
\begin{eqnarray*}
\frac{\rd x}{x} &=& \frac{\rd \nu}{f(1,\nu)-\nu}\\
&=& -\frac{2\nu\rd \nu}{\nu^2+1}
\end{eqnarray*}
حال که معادله جداشدنی شده است. با انتگرال گیری از طرفین داریم
\begin{eqnarray*}
\int\frac{\rd x}{x} & =&-\int \frac{2\nu}{\nu^2+1}\rd \nu\\
\ln x &=& -\ln (\nu^2+1)+c\\
\end{eqnarray*}
و لذا
\begin{eqnarray*}
\ln x +\ln (\nu^2+1)&=&c\\
x(\nu^2+1)&=&e^c\\
x((\frac{y}{x})^2+1)&=&e^c\\
\frac{y^2}{x}+x&=&e^c\\
y^2+x^2&=&e^cx
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
\bbox[5px,border:2px solid red]{ y^2+x^2=kx}
\end{eqnarray*}

مثال ۳:
معادله دیفرانسیل $x\rd y-y\rd x=\sqrt{x^2+y^2}\rd x$ را در نظر می گیریم.
\begin{eqnarray*}
x\rd y-y\rd x&=&\sqrt{x^2+y^2}\rd x\\
x\rd y&=&\sqrt{x^2+y^2}\rd x+y\rd x\\
x\rd y&=&(\sqrt{x^2+y^2}+y)\rd x\\
\frac{\rd y}{\rd x}&=&\frac{\sqrt{x^2+y^2}+y}{x}
\end{eqnarray*}
بوضوح معادله همگن می باشد پس با استفاده از $(\ref{hamgen1})$ داریم
\begin{eqnarray*}
f(1,\nu)-\nu &=& \sqrt{1+\nu^2}
\end{eqnarray*}
و داریم
\begin{eqnarray*}
\frac{\rd x}{x}=\frac{\rd \nu}{\sqrt{1+\nu^2}}
\end{eqnarray*}
معادله تبدیل به معادله جداشدنی شده است. و لذا با انتگرال گیری معادله را حل می کنیم
\begin{eqnarray*}
\int \frac{\rd x}{x}&=&\int\frac{\rd \nu}{\sqrt{1+\nu^2}}
\end{eqnarray*}
از طرفی می دانیم که
\begin{eqnarray*}
\int\frac{\rd \nu}{\sqrt{a^2+\nu^2}} =\ln \abs{\nu+\sqrt{a^2+\nu^2}}+c
\end{eqnarray*}
لذا نتیجه می شود که
\begin{eqnarray*}
\int \frac{\rd x}{x}&=&\int\frac{\rd \nu}{\sqrt{1+\nu^2}}\\
\ln x + c&=& \ln(\nu+\sqrt{1+\nu^2})\\
\ln(cx)&=& \ln(\nu+\sqrt{1+\nu^2})\\
cx&=&\nu+\sqrt{1+\nu^2}\\
cx&=&\frac{y}{x}+\sqrt{1+(\frac{y}{x})^2}\\
cx&=&\frac{y}{x}+\sqrt{1+\frac{y^2}{x^2}}\\
cx&=&\frac{y}{x}+\sqrt{\frac{y^2+x^2}{x^2}}\\
cx&=&\frac{y}{x}+\frac{\sqrt{y^2+x^2}}{x}
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
\bbox[5px,border:2px solid red]{ cx^2=y+\sqrt{y^2+x^2}}
\end{eqnarray*}

Post a comment

سوال دارین؟ بپرسین:

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *

Feedback