مثالهای از معادلات دیفرانسیل همگن

در این بخش به حل تعدادی از معادلات دیفرانسیل همگن می پردازیم تا ضمن آشنایی با روش حل این معادلات به بررسی دقیق تر این نوع معادلات می پردازیم

مثال ۱:
معادله $(x^3+y^3)\rd x + 3xy^2\rd y=0$ را در نظر می گیریم. ضریب $\rd x$ و $\rd y$ توابعی همگن از درجه ۳ می باشند. لذا معادله همگن می باشد. پس با تغییر متغیر $\nu=\frac{y}{x}$ داریم
\begin{equation*}
(x^3+\nu^3x^3)\rd x+3x(\nu x)^2(\nu\rd x+x\rd \nu)=0\\
x^3(1+\nu^3)\rd x+3x^3\nu^2(\nu\rd x+x\rd \nu)=0\\
\end{equation*}
با تقسیم طرفین بر $x^3$ داریم
\begin{equation*}
(۱+\nu^3)\rd x+3\nu^2(\nu\rd x+x\rd \nu)=0\\
(۱+۴\nu^3)\rd x+3x\nu^2\rd\nu=0\\
\end{equation*}
حال طرفین را بر $ (۱+۴\nu^3)x$ تقسیم می کنیم
\begin{equation*}
\frac{\rd x}{x}+\frac{3\nu^2}{1+4\nu^3}=0
\end{equation*}
که معادله اخر تبدیل به یک معادله جداشدنی می شود و با انتگرال گیری داریم
\begin{equation*}
\int\frac{\rd x}{x}+\int\frac{3\nu^2}{1+4\nu^3}=c
\end{equation*}
و داریم
\begin{equation*}
\ln x+\frac{1}{4}\ln(1+4\nu^3)=c\\
\ln(x(1+4\nu^3)^{\frac{1}{4}})=c\\
x(1+4\nu^3)^{\frac{1}{4}}=e^c\\
x^4(1+4\nu^3)=e^{4c}=k\\
x^4+x^44(\frac{y}{x})^3=k\\
x^4+4xy^3=k
\end{equation*}

مثال ۲:
معادله دیفرانسیل $(x^2+y^2)\rd x+xy\rd y=0$ را در نظر می گیریم. چون ضریب $\rd x$ و $\rd y$ توابعی همگن از درجه ۲ می باشند. لذا معادله همگن می باشد. پس با تغییر متغیر $\nu=\frac{y}{x}$ داریم
\begin{equation*}
(x^2+(\nu x)^2)\rd x+x(\nu x)(\nu\rd x+x\rd\nu)=0\\
(x^2+\nu^2 x^2)\rd x+x^2\nu^2\rd x+x^3\nu\rd\nu=0\\
(x^2+2x^2\nu^2)\rd x+x^3\nu\rd\nu=0\\
x^2(1+2\nu^2)\rd x+x^3\nu\rd\nu=0\\
\end{equation*}
حال با تقسیم طرفین بر $x^3(1+2\nu^2)$ داریم
\begin{equation*}
\frac{\rd x}{x}+\frac{\nu}{1+2\nu^2}\rd\nu=0\\
\end{equation*}
که بوضوح معادله اخیر یک معادله جداشدنی می باشد. و با انتگرال گیری داریم
\begin{equation*}
\int \frac{\rd x}{x}+\int\frac{\nu}{1+2\nu^2}\rd\nu=c\\
\ln x+\frac{1}{4}\ln(1+2\nu^2)=c\\
x(1+2\nu^2)^{\frac{1}{4}}=e^c\\
x^4(1+2\nu^2)=e^{4c}=k
\end{equation*}

Feedback