تعریف معادلات دیفرانسیل همگن

معادلات دیفرانسیل همگن نوع دیگری از معادلات دیفرانسیل مرتبه اول می باشد که با تغییر متغیر به معادله دیفرانسیل جداشدنی تبدیل می شود. برای بررسی این نوع معادلات ابتدا تعریف زیر را داریم

تعریف:
تابع دو متغییره $f(x,y)$ را همگن از درجه $n$ ($n$ عدد ثابت) می نامیم اگر برای هر $t>0$ داشته باشیم
\begin{align*}
\bbox[5px,border:2px solid green]{ \color{red}{\large{ f(t^nx,t^ny)=t^nf(x,y)}}}
\end{align*}

مثال :
تابع $y\sin(\frac{y}{x})+x$ را بررسی می کنیم.
\begin{equation*}
\begin{array}{ll}
t^ny\sin(\frac{t^ny}{t^nx})+t^nx &=& t^ny\sin(\frac{y}{x})+t^nx\\
&=& t^n\left(y\sin(\frac{y}{x})+x)\right)
\end{array}
\end{equation*}
لذا تابع همگن از مرتبه $n$ می باشد.

مثال :
توابع
\begin{align*}
xe^{\frac{x}{y}}\ ,\ x^2+xy\ ,\ \tan^{\frac{x}{y}}\ , \ x+\sqrt{xy}
\end{align*}
بترتیب همگن از درجه $۱,۲,۰,۱$ می باشند و توابع
\begin{align*}
(x^2+y2)\cos y\ , \ xy+3\ , \ x^2+y\ , \ xe^x
\end{align*}
همگن نیستند!!!(بررسی شود)

تعریف :
معادله دیفرانسیل $M(x,y)\rd x +N(x,y)\rd y=0$ را معادله دیفرانسیل همگن نامیم اگر $M(x,y), N(x,y)$ توابعی همگن از درجه یکسان باشند.

برای حل معادلات همگن از تغییر متغییر $\nu=\frac{y}{x}$ استفاده می کنیم.
در واقع داریم
\begin{equation}\label{label1}
\nu=\frac{y}{x}\ \Rightarrow\ y=\nu x\\
\rd y=\nu\rd x+x\rd \nu
\end{equation}
که با جایگذاری در معادله $M(x,y)\rd x +N(x,y)\rd y=0$ تبدیل به معادله جداشدنی می شود.

مثال :
معادله دیفرانسیل زیر را در نظر می گیریم
\begin{align*}
y’=\frac{-(x-y)}{x-4y}
\end{align*}
ابتدا معادله را به فرم $M(x,y)\rd x +N(x,y)\rd y=0$ تبدیل می کنیم، پس داریم
\begin{align*}
(x-y)dx+(x-4y)\rd y=0
\end{align*}
لذا معادله همگن می باشد(همگن بودن معادله را بررسی کنید). پس با استفاده از $(\ref{label1})$ داریم
\begin{equation*}
(x-\nu x)\rd x+(x-4(\nu x))(\nu\rd x+x\rd \nu)=0\\
x\rd x-\nu x\rd x+x\nu\rd x\\
-۴\nu^2x\rd x+x^2\rd\nu-4x^2\nu\rd\nu=0\\
(۱-۴\nu^2)x\rd x+(1-4\nu)x^2\rd\nu=0
\end{equation*}
حال با تقسیم طرفین معادله بر $(۱-۴\nu^2)x$ داریم
\begin{equation}\label{label2}
\frac{1}{x}\rd x+\frac{1-4\nu}{1-4\nu^2}\rd \nu=0
\end{equation}
که به وضوح معادله آخر به معادله جداشدنی تبدیل شده است. حال برای بدست آوردن جواب به حل دو انتگرال
\begin{equation*}
\int \frac{1}{x}\rd x\\
\int\frac{1-4\nu}{1-4\nu^2}\rd \nu
\end{equation*}
نیاز داریم.
\begin{equation*}
\frac{1-4\nu}{1-4\nu^2}=\frac{\frac{3}{2}}{1+2\nu}+\frac{-\frac{1}{2}}{1-2\nu}
\end{equation*}
باتوجه به رابطه بالا داریم
\begin{equation*}\begin{array}{ll}
\int\frac{1-4\nu}{1-4\nu^2}\rd \nu &=&\int\frac{\frac{3}{2}}{1+2\nu} \rd \nu +\int\frac{-\frac{1}{2}}{1-2\nu}\rd \nu\\
&=&\frac{3}{4}\ln\abs{1+2\nu}+\frac{1}{4}\ln\abs{1-2\nu}
\end{array}\end{equation*}
پس از $(\ref{label2})$ نتیجه می شود
\begin{equation*}\begin{array}{rr}
\int \frac{1}{x}\rd x+ \int \frac{1-4\nu}{1-4\nu^2}\rd \nu &=& c \\
\ln\abs{x} + \frac{3}{4}\ln\abs{1+2\nu}+\frac{1}{4}\ln\abs{1-2\nu} &=& c\\
۴\ln\abs{x}+3\ln\abs{1+2\nu}+\ln\abs{1-2\nu}&=& 4c
\end{array}\end{equation*}
و لذا با جایگذاری $\nu=\frac{y}{x}$ داریم
\begin{equation*}
\abs{x}^4\ . \ \abs{1+2\frac{y}{x}}^3\ . \ \abs{1-2\frac{y}{x}}=e^{4c}\\
\abs{x}^3\abs{1+2\frac{y}{x}}^3\ . \ \abs{x}\abs{1-2\frac{y}{x}}=e^{4c}\\
\abs{x+2y}^3\ .\ \abs{x-2y}=e^{4c}
\end{equation*}
لذا جواب معادله بصورت زیر در می آید
\begin{equation*}
\abs{x+2y}^3\ .\ \abs{x-2y}=k
\end{equation*}

Post a comment

سوال دارین؟ بپرسین:

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *

Feedback