تعریف معادله دیفرانسیل

در ریاضیات برای بیان برابری دو چیز از معادله استفاده می کنیم و نماد تساوی را بکار می بریم. یعنی یک معادله عبارت است از:
$$\color{red}{{\Big(\qquad\qquad\Big)}}=\color{red}{{\Big(\qquad\qquad\Big)}}$$
که در دو طرف مساوی عبارت ریاضی قرار می گیرد. در ریاضیات عمومی با انواع معادلات و روش های حل آن آشنا شده ایم، در این جزوه به بحث راجب معادلاتی خواهیم پرداخت که در آنها مشتقات توابع نیز وجود دارد لذا برای شروع این تعریف را داریم
تعریف:
معادله ای که شامل ترکیباتی از $x$ (متغییر مستقل) و $y$ (متغییر وابسته) و مشتقات آن باشد را معادله دیفرانسیل نامیم. و با نماد
$$\color{red}{\Large{f(x,y,y’,y^{\prime\prime},\cdots,y^{(n)})=0}}$$
نمایش می دهیم.
مرتبه یک معادله دیفرانسیل
بالاترین مرتبه مشتق موجود در یک معادله دیفرانسیل را مرتبه آن معادله دیفرانسیل نامیم.
درجه یک معادله دیفرانسیل
هرگاه معادله دیفرانسیل رابتوان بر حسب مشتقات آن بصورت یک چدجمله ای نوشت، آنگاه بالاترین توان بالاترین مشتق موجود در معادله را درجه آن معادله دیفرانسیل نامیم.
جواب یک معادله دیفرانسیل
تابع $g(x)$ را جوابی از معادله دیفرانسیل
$$\color{red}{\Large{f(x,y,y’,y^{\prime\prime},\cdots,y^{(n)})=0}}$$
خوانیم اگر $g$، $n$ بار مشتق پذیر باشد و داشته باشیم:
\begin{align*} \color{red}{\Large{f(x,g(x),g'(x),g^{\prime\prime}(x),\cdots,g^{(n)}(x))=0.}} \end{align*}
هر معادله دیفرانسیل مرتبه $n$ام می تواند در جواب خود $n$ ثابت اختیاری داشته باشد. فرض کنید $c_1,c_2,\cdots,c_n$ ثابت های اختیاری و $y_1(x),y_2(x),\cdots,y_n(x)$ توابعی معلوم باشند. انگاه $y=c_1y_1(x)+c_2y_2(x)+\cdots+c_ny_n(x)$ جواب عمومی معادله دیفرانسیل زیر می باشد. \begin{align*}
\left|\begin{array}{cc}
y & y’&\cdots& y^{(n)} \\
y_1 & y_1’&\cdots& y_1^{(n)}\\
\vdots& \vdots&\ddots&\vdots\\
y_n & y_n’&\cdots& y_n^{(n)}
\end{array}\right| =0
\end{align*}
تعریف:
یک خانواده $n$ پارامتری (منظور دارای $n$ ثابت اختیاری باشد) از جوابهای یک معادله دیفرانسیل مرتبه $n$ام را جواب عمومی معادله دیفرانسیل می نامیم و تابعی را که از یک مجموعه معین از این $n$ پارامتر را یک جواب خصوصی معادله دیفرانسیل می نامیم.

راجب تعریف معادلات دیفرانسیل صحبت می کنیم. سعی می کنیم بحث های نظری رو رد بشیم.

Feedback