خلاصه نظریه اندازه‌ها

جبر

یک کلاس ناتهی $\algg$ از زیرمجموعه های مجموعه $X$ را جبر روی $X$ خوانیم اگر دارای دو شرط زیر باشد

  1. $(A\in\algg)\ \To\ (X\bs A\in X)$
  2. $(A_1,A_2,\cdots,A_n\in\algg)\ \To\ (\bigcup_{k=1}^nA_k\in\algg)$
جبر تولید شده توسط زیر مجموعه

فرض کنیم $\cal C$ زیرمجموعه‌ای از $X$ باشد، اشتراک تمام جبرهای شامل $\cal C$ بوضوح یک جبر می باشد، این جبر را با $\algg(\cal C)$ نمایش می دهیم و جبر تولید شده توسط $\cal C$ می نامیم.

حد روی مجموعه‌ها

فرض کنیم دنباله $A_n$ از زیرمجموعه‌های $X$ موجود باشد. تعریف می کنیم

  1. \begin{eqnarray*}
    \limsup_nA_n=\setwm{x\in X}{\textrm{$x$ belongs to infinitely many $A_n$ }}
    \end{eqnarray*}
    یعنی $x$ در تعداد نامتناهی $A_n$ قرار دارد.
  2. \begin{eqnarray*}
    \liminf_n A_n=\setwm{x\in X}{\textrm{$x$ belongs to all but finitely many $A_n$}}
    \end{eqnarray*}
    یعنی $x$ بجز در تعداد متناهی $A_n$، بقیه $A_n$ها قرار دارد.

با توجه به تعاریف داریم

  1. \begin{eqnarray*}
    \limsup_n A_n=\bigcap_n(\bigcup_{k=n}^\infty A_k)
    \end{eqnarray*}
  2. \begin{eqnarray*}
    \liminf_n A_n=\bigcup_n(\bigcap_{k=n}^\infty A_k)
    \end{eqnarray*}

هنگامی که هر دو حد بالا برابر باشند، می گوییم دنباله $A_n$ به مقدار مشترکی که با $\lim_n A_n$ نمایش می دهیم، همگرا می باشد.

———————

به سرعت مشخص می شود که اعمال حدود لزوما روی یک جبر بسته نمی باشند. و لذا به مفهوم $\gs$-جبر می رسیم.
جبر $\algm$ روی $X$ را یک $\gs$-جبر خوانیم اگر در شرط زیر صدق کند

  1. اگر $\set{A_n}\sci\algm$ آنگاه $\bigcup_n A_n\in\algm$

فرض کنیم $\cal C$ یک خانواده از زیرمجموعه‌های $X$ باشد، $\algm(\cal C)$ را اشتراک تمام $\gs$-جبرهای شامل $\cal C$ در نظر می گیریم که بوضوح خود $\gs$-جبر می باشد و $\gs$-جبر تولید شده توسط $\cal C$ نامیم.
بعنوان مثال فرض کنیم ${\cal O}_n$ مجموعه تمام زیرمجوعه‌های باز از $\rea^n$ باشد. $\algm(\cal O_n)$ را $\gs$-جبر بورل روی $\rea^n$ خوانیم و با $\brl(\rea^n)$ نمایش می دهیم.

تابع مجموعه

یک تابع مجموعه $\psi$ روی جبر $\algg$ از مجموعه های $X$ یک تابع می باشد که به هر مجموعه $A$ از $\algg$ مقداری حقیقی یا $\pm\infty$ را نسبت می دهد.
$\psi$ را جمعی خوانیم هرگاه برای هر دنباله مجزا مانند $A_1,\cdots, A_n\sci \algg$ داشته باشیم
$\psi(\cup_{1}^{n}A_i)=\sum_{1}^{n}\psi(A_i)$.
حال تابع مجموعه $\mu$ روی $\gs$-جبر $\algm$ از مجموعه های $X$ را اندازه نامیم هرگاه

  1. $\mu:\algm\To [0,\infty]$
  2. $\mu(0)=0$
  3. اگر $(A_i)\in 2^\algm$ دنباله ای دوبدو مجزا باشد آنگاه $\mu(\cup A_i)=\sum \mu(A_i)$

$(X,\algm,\mu)$ را فضای اندازه و عناصر $\algm$ را مجموعه های اندازه پذیر خوانیم.

———————

Feedback