حدس گلدباخ دیگر یک حدس نیست

هارالد هلفگات (1)Harald Helfgott ریاضی دان اکول نرمال سوپریور در پاریس و برنده جایزه وایت‌هد از انجمن ریاضی لندن در سال ۲۰۱۰، برهان یک مساله در نظریه اعداد به قدمت ۲۷۱ سال را ارائه نمود.

در سال ۱۷۴۲ کریستین گلدباخ (2)Christian Goldbach (ریاضی دان آلمانی) حدس زد که هر عدد زوج بزرگتر از ۲ مجموع دو عدد اول است (که لزوماً متفاوت نیستند). این مطلب به حدسیه‌ی گلدباخ یا حدسیه‌ی دوتایی معروف است و بی درنگ حدسیه‌ی ضعیف گلدباخ یا حدسیه‌ی سه تایی را نتیجه می دهد، یعنی هر عدد فرد بزرگتر از ۵ مجموع سه عدد اول است ( برای مشاهده‌ی این موضوع، کافی است عدد اول ۳ را از هر عدد فرد کسر کنید تا عدد زوجی به دست آید که طبق حدسیه‌ی دوتایی باید بتوانید آن را به صورت مجموع دو عدد اول دیگر بنویسید). اخیراً هلفگات نشان داده است که در واقع حدسیه‌ سه تایی گلدباخ درست است.

متخصصین نظریه‌ی اعداد سال‌های زیادی است که روی این مساله کار کرده‌اند و نتایج قابل توجهی در این زمینه به دست آمده است که به برهان هلفگات نیز کمک کرده است. در سال ۱۹۲۳ هاردی (3)Hardy و لیتل‌وود (4)Littlewood دریافتند که اگر حدسیه‌ی تعمیم یافته ریمان (GRH) دست باشد، آنگاه حدسیه‌ی سه تایی گلدباخ برای اعداد به قدر کافی بزرگ درست است. چهارده سال بعد، ریاضی دان روسی ایوان وینوگرادوف (5)Vinogradov نشان داد، حتی بدون GRH حدسیه‌ سه تایی گلدباخ برای اعداد فرد «به قدر کافی بزرگ» درست است. این نتیجه به قضیه وینوگرادوف معروف شد وای این که اندازه‌ی «به قدر کافی بزرگ» چیست مشخص نبود تا این که در سال ۱۹۵۶ بوروزکین(6)Borozdkin نشان داد که عدد $۱۰^{۶۸۴۶۱۶۹}$ برای این منظور کافی است. در سال ۲۰۰۲، مینگ-چیت (7)Ming-Chit و تیان-ز (8)Tian-Ze «به قدر کافی بزرگ» را به حدود $۲\times 10^{1346}$ کاهش دادند، ولی این عدد هنوز از نظر محاسباتی قابل دسترسی نبود. ضمناً در سال ۱۹۹۷، مجدداً با فرض درستی GRH، دزولیه (9)Deshouillers، افینگر (10)Effinger، ت ریل(11)Te Riele و زینو ویف (12)Zinoviev توانستند «به قدر کافی بزرگ» را تا جائی کاهش دهند که قادر باشند استثناهای احتمالی توسط کامپیوتر را حذف نمایند. پیشرفت های دیگری نیز حاصل شد، به‌طور مثال در ۱۹۹۵ اولیویر رامار (13)Olivier Ramare در لیل فرانسه نشان داد هر عدد زوج مجموع حداکثر ۶ عدد اول است، که نتیجه می دهد هر عدد فرد مجموع حداکثر ۷ عدد اول است، و در سال ۲۰۱۲ ترنس تائو (14)Terence Tao از دانشگاه کالیفرنیا در لوس آنجلس، این تعداد را به ۵ عدد اول کاهش داد.

هارالد هلفگات

هارالد هلفگات

در رهیافت هلفگات با استفاده از روش دایره‌ای هاردی-لیتل‌وود-وینوگرادوف، مساله در قالب یک انتگرال بیان می شود که در این صورت می تواند به شکل تحلیلی تقریب زده شود. با مدیریت دقیق این فرآیند پیچیده، هلفگات نتیجه‌ای را به دست آورد که هنوز به درستی GRH متکی بود، ولی تا یک عددی، و این نتیجه برای اعداد «به قدر کافی بزرگ» معتبر بود، اما حالا به قدر کافی بزرگ (تقریباً) $۱۰^{۳۰}$ بود.

برای تحقیق درستی GRH در دامنه مورد نیاز، هلفگات همکاری دیوپلات از دانشگاه بریستول را به خدمت گرفت. با استفاده از الگوریتم‌هایی که پلات در دوره دکتری خود، تحت راهنمایی آندرو بوکر به دست آورده بود او توانست بررسی کند که ۳۸ تریلیون ریشه $L$-تابع‌های دیریکله، همگی قسمت حقیقی یک دوم دارند، که درستی GRH را در دامنه مورد نیاز هلفگات و – حتی فراتر از آن را – مهیا می سازد. در پایان، برای زیرمجموعه محاسبات مورد نیاز هلفگات در واقع حدود ۱۰۰/۰۰۰ ساعت صرف شد، ولی کل محاسبات عموماً در حوزه نظریه تحلیلی اعداد مفید خواهد بود.

برای قطعه‌ی نهایی معما، بررسی این گزاره که همه اعداد فرد کمتر از $۱۰^{۳۰}$ را می توان به صورت مجموع سه عدد اول نوشت، مورد نیاز بود. با استفاده از یک نتیجه قبلی توماس اولیویر و سیلو از دانشگاه آویرو و به کارگیری ۴۰/۰۰۰ ساعت محاسبه کامپیوتری دیگر، هلفگات و پلات توانستند این موضوع را به تایید برسانند.

همان‌گونه که دیو پلات (15)Dave Platt می گوید، «محاسبات شش هفته قبل، پس از به کارگیری ۴۴۰/۰۰۰ ساعت کار توسط کامپیوترها در بریستول، واریک و فرانسه کامل شد. جالب است که می بینیم درستی حدسیه سه تایی ثابت شد. آنجه هارالد به آن دست یافته است، یک موفقیت شگرف است و من خوشحالم که در این راستا سهمی داشته‌ام.»

حال با برقراری حدسیه‌ی سه تایی شانس دست یابیی به حدسیه‌ی دوتایی چقدر است؟ دیوپلات معتقد است دست‌یابی به حدسیه‌ی دوتایی احتمالاً تا مدت زمانی بسیار طولانی میسر نخواهد بود.

لینک مقاله هارالد هلفگات
منبع: خبرنامه انجمن ریاضیی ایران، شماره۱۳۷، پاییز ۱۳۹۲

پاورقی[+]

مدیریت وب‌سایت

کسی که هندسه نمی‌داند ، از این در وارد نشود. " کتیبه‌ی سر در آکادمی افلاطون "