تعریف : یک معادله دیفرانسیل مرتبه \( n \) ام بصورت
\[ F(x,y,y',y'',\cdots, y^{( n )})=0 \]
را خطی نامیم هرگاه \( F \) یک چندجمله‌ای درجه اول بر حسب \( y,y',y'',\cdots,y^{( n )} \) باشد. به عبارت دیگر، معادله
\[ a_0(x)y^{( n )}+a_1(x)y^{( n -1)}+\cdots+a_{n-1}(x)y'+a_n(x)y=f(x) \]
را که در آن توابع \( a_0,a_1,\cdots,a_n \) و \( f \) بر بازه \( I\) تعریف شده و به ازای هر \( x \) در \( I \) \( a_0(x)\ne 0 \)، یک معادله خطی می نامیم. هر معادله که خطی نباشد، غیر خطی نامیده می شود.

معادلات دیفرانسیل خطی مرتبه اول بصورت \( a_0(x)y'+a_1(x)y=f(x) \) می باشد. چون \( a_0(x) \) همواره بر بازه \( I \) ناصفر می باشد پس می توان دوطرف را بر \( a_0(x) \) تقسیم کرده و معادله را بصورت ساده
\[ y'+p(x)y=q(x) \]
نوشت، که در آن
\[ p(x)=\frac{a_1(x)}{a_0(x)}\qquad,\qquad q(x)=\frac{f(x)}{a_0(x)} \]

برای حل اینچنین معادله‌ای عامل انتگرال ساز \( \rho=e^{\int p(x)d x} \) را در دو طرف معادله بالا ضرب می کنیم و داریم
\[ y'e^{\int p(x)d x}+p(x)e^{\int p(x)d x}y=q(x)e^{\int p(x)d x} \]
به آسانی می توان تحقیق کرد طرف چپ معادله اخیر رامی توان بصورت زیر نوشت
\[ y'e^{\int p(x)d x}+p(x)e^{\int p(x)d x}y=\frac{d}{d(x)}\lbrack e^{\int p(x)d x}\rbrack \]
بنابراین
\[ \frac{d}{d(x)}\lbrack e^{\int p(x)d x}\rbrack =q(x)e^{\int p(x)d x} \]
اکنون با ضرب کردن دو طرف معادله در \( dx \) و انتگرال‌گیری به دست می آید
\[ ye^{\int p(x)d x}=\int q(x)e^{\int p(x)d x}dx+c \]
یا
\[ y=e^{-\int p(x)d x}\lbrack\int q(x)e^{\int p(x)d x}dx+c\rbrack \]
و جواب عمومی معادله دیفرانسیل به دست می آید.